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\TopicFR{Géométrie algébrique}
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\alttitle{Complex algebraic geometry, in memory of Jean-Pierre Demailly: Foreword}
\title{Géométrie algébrique complexe, en mémoire de Jean-Pierre Demailly : Avant-propos}

\author{\firstname{Claire} \lastname{Voisin}}
\address{CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris rive gauche, France}

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\begin{document}
\maketitle

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The English version is available after the French version

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Demailly est un sp\'{e}cialiste d'analyse et de g\'{e}om\'{e}trie alg\'{e}brique complexes. Son {\oe}uvre s'inscrit dans une grande tradition math\'{e}matique, remontant \`{a} Riemann, qui \'{e}tudie les vari\'{e}t\'{e}s alg\'{e}briques sur le corps des nombres complexes sous l'angle de la g\'{e}om\'{e}trie diff\'{e}rentielle complexe et leur applique des m\'{e}thodes qui peuvent \^{e}tre tr\`{e}s analytiques. Par exemple, Hodge d\'{e}veloppa la th\'{e}orie des formes harmoniques et l'appliqua aux vari\'{e}t\'{e}s k\"{a}hl\'{e}riennes compactes, produisant le fameux th\'{e}or\`{e}me de d\'{e}composition de Hodge, qui reste de nos jours l'\'{e}nonc\'{e} le plus qualitatif dont on dispose concernant la topologie des vari\'{e}t\'{e}s alg\'{e}briques projectives sur les nombres complexes. Il fut suivi de peu par Kodaira et son magnifique th\'{e}or\`{e}me de plongement, donnant la g\'{e}n\'{e}ralisation optimale du th\'{e}or\`{e}me de plongement de Riemann pour les surfaces de Riemann compactes. Demailly s'inscrit dans cette tradition et plusieurs de ses contributions majeures sont li\'{e}es aux travaux de Kodaira qu'elles g\'{e}n\'{e}ralisent d'une fa\c{c}on spectaculaire et extr\^{e}mement importante pour la g\'{e}om\'{e}trie alg\'{e}brique moderne.

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Demailly appartient aussi \`{a} l'\'{e}cole de Lelong, qui utilise l'analyse pour \'{e}tudier des objets beaucoup moins, voire pas du tout, r\'{e}guliers, \`{a} savoir des courants au lieu de formes diff\'{e}rentielles. On sait que les fonctions holomorphes sur une vari\'{e}t\'{e} complexe compacte connexe sont constantes. On leur substitue donc des sections holomorphes de fibr\'{e}s en droites holomorphes, le quotient de deux telles sections fournissant une fonction m\'{e}romorphe. C'est la \og positivit\'{e}\fg{} de ce fibr\'{e} en droites qui garantit l'existence de telles sections non identiquement nulles. Mais de quelle notion de positivit\'{e} s'agit-il? Dans le th\'{e}or\`{e}me de Kodaira, la positivit\'{e} est donn\'{e}e par le choix d'une m\'{e}trique de classe $C^{\infty}$ sur le fibr\'{e} en droites, telle que la forme de Chern, ou courbure de la connexion de Chern associ\'{e}e, soit positive dans le sens le plus fort possible, c'est-\`{a}-dire soit une forme de K\"{a}hler. La conclusion est alors que le fibr\'{e} en droites est ample, ce qui est aussi la plus forte notion de positivit\'{e} pour un fibr\'{e} en droites dont on dispose en g\'{e}om\'{e}trie alg\'{e}brique. Demailly a utilis\'{e} la th\'{e}orie et l'analyse des courants de courbure associ\'{e}s \`{a} des m\'{e}triques moins r\'{e}guli\`{e}res et cela lui a permis d'introduire et caract\'{e}riser des notions moins restrictives de positivit\'{e}, telles que la pseudo-effectivit\'{e}, pour les fibr\'{e}s en droites. C'est via les estim\'{e}es $L^2$ \`{a} la H\"{o}rmander qu'il caract\'{e}rise la pseudo-effectivit\'{e}. En combinant ce type de techniques avec la r\'{e}solution d'\'{e}quation de Monge--Amp\`{e}re \`{a} second membre singulier, il a \'{e}galement \'{e}t\'{e} un pionnier sur le probl\`{e}me de la grande amplitude effective, o\`{u} l'on demande quelles puissances tensorielles d'un fibr\'{e} en droites ample poss\`{e}dent suffisamment de sections pour fournir un plongement dans l'espace projectif.

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Une vari\'{e}t\'{e} complexe ou alg\'{e}brique lisse poss\`{e}de toujours au moins un fibr\'{e} en droites holomorphe, \`{a} savoir son fibr\'{e} canonique (qui peut \^{e}tre trivial). La g\'{e}om\'{e}trie birationnelle dans sa forme moderne \'{e}tudie les propri\'{e}t\'{e}s du fibr\'{e} canonique. C'est un fait remarquable que les formes pluricanoniques des vari\'{e}t\'{e}s projectives lisses sont contravariantes sous les applications rationnelles dominantes entre vari\'{e}t\'{e}s de m\^{e}me dimension. L'une des grandes conjectures du domaine est qu'une vari\'{e}t\'{e} projective lisse est unir\'{e}gl\'{e}e, c'est-\`{a}-dire couverte par une famille de courbes rationnelles (ou surfaces de Riemann de genre $0$), si et seulement si elle ne poss\`{e}de aucune forme pluricanonique non nulle (le \og seulement si\fg{} \'{e}tant facile). Dans le magnifique article {\it The pseudo-effective cone of a compact K\"{a}hler manifold and varieties of negative Kodaira dimension} \cite{1}, Boucksom, Demailly, P\u{a}un et Peternell montrent qu'une vari\'{e}t\'{e} projective lisse est unir\'{e}gl\'{e}e si et seulement si son fibr\'{e} canonique n'est pas pseudo-effectif, ce qui est une condition plus forte que l'annulation des plurigenres, mais l'\'{e}nonc\'{e} constitue n\'{e}anmoins un pas important vers cette conjecture. Cet article fournit aussi une caract\'{e}risation duale (dans l'esprit de Moishezon--Nakai) extr\^{e}mement int\'{e}ressante du c\^{o}ne des diviseurs pseudo-effectifs.


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Une autre contribution majeure de Demailly est l'article {\it Numerical characterization of the K\"{a}hler cone of a compact K\"{a}hler manifold} \cite{2} \'{e}crit avec P\u{a}un, o\`{u} ils d\'{e}montrent un superbe r\'{e}sultat g\'{e}n\'{e}ralisant le crit\`{e}re de Moishezon--Nakai pour l'amplitude des fibr\'{e}s en droites. Le crit\`{e}re de Moishezon--Nakai dit qu'un fibr\'{e} en droites est ample s'il est de degr\'{e} strictement positif sur toutes les courbes contenues dans la vari\'{e}t\'{e} et plus g\'{e}n\'{e}ralement, les puissances de sa forme de courbure (ou premi\`{e}re classe de Chern) sont d'int\'{e}grale strictement positive sur tout ferm\'{e} alg\'{e}brique (ou analytique) de la vari\'{e}t\'{e}. Le th\'{e}or\`{e}me de Demailly--P\u{a}un \'{e}tend ce r\'{e}sultat \`{a} la positivit\'{e} des classes de formes ferm\'{e}es de type $(1,1)$ sur une vari\'{e}t\'{e} k\"{a}hl\'{e}rienne compacte. Dans ce cas, la vari\'{e}t\'{e} peut ne contenir aucune sous-vari\'{e}t\'{e} complexe propre, mais leur r\'{e}sultat est que le c\^{o}ne des classes $(1,1)$ positives est une composante connexe du c\^{o}ne d\'{e}termin\'{e} par la positivit\'{e} de toutes ces int\'{e}grales.

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Demailly est \'{e}galement un leader en analyse complexe et il fait partie des rares math\'{e}maticiens dont l'{\oe}uvre a une grande influence scientifique dans plusieurs domaines. Son \'{e}cole, l'ensemble de ses \'{e}tudiants et leurs orientations math\'{e}matiques, t\'{e}moignent largement de cette ouverture. La raison pour laquelle je n'ai mentionn\'{e} ci-dessus que certains de ses r\'{e}sultats li\'{e}s \`{a} la g\'{e}om\'{e}trie complexe (alg\'{e}brique ou k\"{a}hl\'{e}rienne) est non seulement le fait que je ne suis pas moi-m\^{e}me comp\'{e}tente dans la partie \og analyse complexe\fg, mais aussi que le pr\'{e}sent volume rassemble des articles relevant pour la plupart de la g\'{e}om\'{e}trie alg\'{e}brique complexe. Un autre volume en hommage \`{a} Demailly, d'inspiration plus analytique, sera publi\'{e} au PAMQ.



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Jean-Pierre Demailly \'{e}tait un grand scientifique inspir\'{e} \`{a} la fois par l'analyse et la g\'{e}om\'{e}trie. Il laisse une {\oe}uvre magnifique d'un impact consid\'{e}rable. Ce volume qui lui est consacr\'{e} c\'{e}l\`{e}bre la partie de son {\oe}uvre touchant la g\'{e}om\'{e}trie alg\'{e}brique et rend hommage \`{a} une personnalit\'{e} exceptionnelle \`{a} tous points de vue.


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Claire Voisin

CNRS, IMJ-PRG

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{\bf English version}

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Demailly's work is mainly devoted to complex analysis and algebraic geometry. It follows a great mathematical tradition, going back to Riemann, where algebraic varieties over the field of complex numbers are studied via complex differential geometry, using methods from analysis. For example, Hodge developped the theory of harmonic forms and applied it to compact K\"{a}hler manifolds, proving the famous Hodge decomposition theorem, which is still today the most qualitative theorem concerning the topology of projective algebraic varieties over the field of complex numbers. Soon after, Kodaira proved his magnificent embedding theorem, establishing the optimal generalization in higher dimension of the Riemann embedding theorem for compact Riemann surfaces. Demailly continues this tradition and several of his major contributions, which are related to the work of Kodaira, generalize it in a spectacular and extremely important way for modern algebraic geometry.

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Demailly also belongs to the Lelong school, where analysis is used to study objects with very low regularity, namely currents instead of differential forms. It is known that holomorphic functions on a compact connected complex manifold are constant. We thus use as a substitute holomorphic sections of holomorphic line bundles, the quotient of two such sections being a meromorphic function. The ``positivity'' of this line bundle guarantees the existence of such nonzero sections. The question is ``which notion of positivity do we use?''. In the Kodaira theorem, positivity is given by the choice of a $C^{\infty}$ metric on the line bundle, such that the Chern form, or curvature of the associated Chern connection, is positive in the strongest possible sense, namely is a K\"{a}hler form. The conclusion then is that the line bundle is ample, which is also the strongest positivity notion for a line bundle that appears in algebraic geometry. Demailly used the theory and the analysis of curvature currents associated to less regular metrics and this led him to introduce and characterize less restrictive notions of positivity, such as pseudo-effectivity, for line bundles. He succeeded characterizing pseudo-effectivity via $L^2$ estimates \`{a} la H\"{o}rmander. Combining this type of technics with the resolution of singular Monge--Amp\`{e}re equations, he obtained pioneering results on the problem of effective very ampleness, where one asks which powers of an ample line bundle have enough global sections to provide an embedding in projective space.

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A complex manifold or smooth algebraic variety always carries at least one holomorphic (algebraic) line bundle, namely its canonical bundle (which can be trivial). Modern birational geometry studies the properties of the canonical bundle. It is a remarkable fact that pluricanonical forms on smooth projective varieties are contravariant under the dominant rational maps between varieties of the same dimension. A big conjecture in the field is that a smooth projective variety is uniruled, that is swept-out by a family of rational curves (or genus $0$ Riemann surfaces), if and only if it has no nonzero pluricanonical form (the ``only if'' being easy). In the superb article {\it The pseudo-effective cone of a compact K\"{a}hler manifold and varieties of negative Kodaira dimension} \cite{1}, Boucksom, Demailly, P\u{a}un and Peternell prove that a smooth projective variety is uniruled if and only if its canonical bundle is not pseudo-effective, a condition which is stronger than the vanishing of the plurigenera, but the statement is nevertheless an important step towards the conjecture. This paper also provides a very interesting dual characterization (in the spirit of Moishezon--Nakai) of the cone of pseudo-effective divisors.


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Another major contribution of Demailly is the paper {\it Numerical characterization of the K\"{a}hler cone of a compact K\"{a}hler manifold} \cite{2}, written with P\u{a}un, where they prove a superb result generalizing the Moishezon--Nakai criterion for the ampleness of the line bundle. The Moishezon--Nakai criterion says that a line bundle an a smooth projective variety is ample if has strictly positive degree on all curves contained in the variety and more generally, the powers of its curvature form (or first Chern class) have strictly positive integral on any closed algebraic (or analytic) subset of the variety. The Demailly--P\u{a}un theorem extends this result to the positivity of classes of closed forms of type $(1,1)$ on a compact K\"{a}hler manifold. In this case, the manifold may not contain any proper closed analytic subset, but their result is that the cone of positive $(1,1)$-classes is a connected component of the cone determined by the positivity of all these integrals.

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Demailly is also a leader in complex analysis and he is one of the few mathematicians whose work is greatly influential in several areas. His school, his students and their mathematical orientations, illustrate this breadth. The reason why I mentioned above only his results related to complex geometry (algebraic or K\"{a}hler) is not only the fact that I am not myself competent in the analytic aspects of his work, but also that mots papers presented in this volume are related to complex algebraic geometry. Another volume dedicated to Demailly, with more emphasis on analysis, will be published in PAMQ.

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Jean-Pierre Demailly was a great scientist inspired both by analysis and geometry. His mathematical work is splendid and highly influential. This volume dedicated to him emphasizes the algebrogeometric aspects of his work and honors an exceptional personality.

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Claire Voisin

CNRS, IMJ-PRG

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\end{document}