%~Mouliné par MaN_auto v.0.29.1 2023-11-02 17:08:22
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\TopicFR{Géométrie et Topologie, Systèmes dynamiques}
\TopicEN{Geometry and Topology, Dynamical systems}

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\title{\'Etude des $(n+1)$-tissus de courbes en dimension $n$}

\author{\firstname{Jean-Paul} \lastname{Dufour}}
\address{ancien professeur à l'Université de Montpellier II}
\address{1 rue du Portalet 34820 Teyran, France}
\email{dufourh@netcourrier.com}

\author{\firstname{Daniel} \lastname{Lehmann}\IsCorresp}
\address[1]{ancien professeur à l'Université de Montpellier II}
\address{4 rue Becagrun 30980 Saint Dionisy, France}
\email{lehm.dan@gmail.com }

\keywords{\kwd{tissus en courbes}
\kwd{courbure}
\kwd{rang}}
\subjclass{53A60}

\begin{abstract}
Pour les $(n+1)$-tissus en courbes dans une variété ambiante de dimension $n$, nous définissons d'abord une généralisation de la courbure de Blaschke du cas $n=2$. qui s'annule ssi le tissu est de rang maximum 1. Mais, contrairement au cas $n=2$ pour lequel tous les 3-tissus de rang 1 sont localement isomorphes, nous démontrons l'existence en dimension trois d'une infinité non dénombrable de classes d'isomorphisme de germes de 4-tissus en courbes qui sont de rang un : nous donnons un moyen de les obtenir toutes, et donnons des exemples d'invariants de ces classes d'isomorphisme, permettant en particulier de distinguer parmi elles le cas \og{} quadrilatéral\fg.
\end{abstract}

\begin{altabstract}
For $(n+1)$-webs by curves in an ambiant $n$-dimensional manifold, we first define a generalization of the well known Blaschke curvature of the dimension two, which vanishes iff the web has the maximum possible rank which is one. But, contrary to the dimension two where all 3-webs of rank one are locally isomorphic, we prove that there are infinitely many classes of isomorphism for germs of 4-webs by curves of rank one in the dimension three: we provide a procedure for building all of them, and give examples of invariants of these classes allowing in particular to distinguish the so-called quadrilateral webs among them.
\end{altabstract}

\begin{document}
\maketitle

\selectlanguage{english}
\section*{Abridged english version}

The framework may be holomorphic or real analytic.

Let a $(n+1)$-web by curves in a $n$-dimensional manifold $\mathcal U$ be defined by $(n+1)$ foliations ${\mathcal F}_\lambda$, $(1\leq \lambda \leq n+1)$. If $(V_\lambda)$ denotes a family of non-vanishing local vector fields such that $V_{\lambda}$ is a section of the vector bundle $T({\mathcal F}_\lambda)$ tangent to the foliation ${\mathcal F}_\lambda$, we always assume $n$ of them to be linearly independant at any point of $\mathcal U$.

The map $\Tr:(V_1,\dots,V_{n+1})\mapsto V_1+\dots +V_{n+1}$ from $\bigoplus_{\lambda=1}^{n+1} T({\mathcal F}_\lambda)$ onto $ T{\mathcal U}$ has maximal rank $n$ at any point of $\mathcal U$, and its kernel $E:=\Ker\bigl(\Tr: \bigoplus_{\lambda=1}^{n+1} T({\mathcal F}_\lambda)\to T{\mathcal U}\bigr)$ is therefore a vector bundle of rank one.

Recall that a $p$-form $\eta$ on ${\mathcal U}$ is said to be ${\mathcal F}_{\lambda}$-basic, if $\iota_{v_{\lambda}}\eta=0$ and $L_{v_{\lambda}}\eta=0$ for any section~$v_{\lambda}$ of $T({\mathcal F}_\lambda)$, $\iota_v$ et $L_v(=\iota_v\circ d+d\circ \iota_v)$ denoting respectively the interior product and the Lie derivative. Recall also that a $p$-abelian relation (or, shortly, \emph{abelian relation} in case $p=n-1$) is a family $(\eta_\lambda)_{1\leq \lambda\leq n+1}$ of $p$-forms, such that $\sum_\lambda\eta_\lambda=0$, each $\eta_\lambda$ being ${\mathcal F}_\lambda$-basic. After \cite{3}, the rank (i.e. the maximum dimension of the space of abelian relations) for such a $(n+1)$-web by curves in a $n$ dimensional manifold is 0 or 1.

Writing $\lambda,\mu,\nu,\dots$ (resp. $i,j,k,,\dots$) integral indices between 1 and $n+1$ (resp. 1 and $n$), let $\sigma=(V_\lambda)_\lambda $ be a local non-vanishing section of $E$. Then, $V_{n+1}=-\sum_{i} V_i$.

Denote by :
\begin{itemize}
\item $(\alpha_i)_{i}$ the basis for the module of local 1-forms, dual to the basis $(V_i)_i $ :
\[
\text{if $[V_i,V_j]=\sum_k C_{ij}^k V_k$, \ then \ $\dd\alpha_k=-\sum_{i<j} C_{ij}^k\ \alpha_i\wedge\alpha_j$.}
\]
\item $A_i$ the $(n-1)$-form\footnote{It is understood that the indices $j$ in the exterior products $\bigwedge_j$ or $\bigwedge_{j,j\neq i}$ are taken in the increasing order.} $ A_i:=(-1)^{i+1}.\bigwedge_{j,j\neq i} \alpha_j $
\item $\varphi_i$ the function $\varphi_i:=\sum_{j,j<i}C_{ji}^j-\sum_{j,i<j}C_{ij}^j$ such that $\dA_i=\varphi_i. \bigwedge_{j} \alpha_j$,
\item $\omega$ the 1-form $\omega:=\sum _i \varphi_i\ \alpha_i$, such that $\dA_i=A_i\wedge \omega$, and $\Omega:=\dd\omega$.
\end{itemize}

\begin{theoa}\leavevmode
\begin{enumerate}\romanenumi
\item The non-vanishing local abelian relations of the web may be naturally identified with the functions $f$ such that
\begin{equation}\tag{$*$}
\dd (\log f)=-\omega.
\end{equation}
The rank of the web is therefore 1 or 0 according to the vanishing or non-vanishing of the 2-form $\Omega$.
\item Denoting by $\sigma^{ 1-n}$ the $(n-1)$-th power of the section of $E^*$ dual to $\sigma$, the connection $\nabla$ locally defined on $\bigotimes^{n-1}E^*$ by setting $\nabla {\sigma}^{ 1-n} = \omega. {\sigma}^{ 1-n}$ doesn't depend neither on the order of the vector fields $V_\lambda$, nor on the section $\sigma=\{V_\lambda\}_\lambda$ of $E$: the connections locally defined by this way glue together and define globally a connection on $\bigotimes^{n-1}E^*$. Hence, the abelian relations may still be identified with the sections of $\bigotimes^{n-1}E^*$ with vanishing covariant derivative, and the rank of the web is 1 or 0 according to the vanishing or non-vanishing of the curvature of this connection.
\item For $n=2$, the above curvature $\Omega$ is the Blaschke curvature.
\end{enumerate}
\end{theoa}

From now on assume $n=3$, and denote by $(x,y,z)$ local coordinates near a point of $\mathcal U$, vanishing at this point. Let $(Q,u,v)$ be three functions of $(x,y,z)$ locally defined near this point. Setting : $f=Q'_x-u.v'_x$, $g=Q'_y-u.v'_y$ and $h=Q'_z-u.v'_z$, and assuming that three of the four 2-forms $\df\wedge \dx$, $\dg\wedge \dy$, $\ddh\wedge \dz$ and $\du\wedge \dv$ are always linearly independant. Let $W$ be the 4-web defined by the foliations having respectively $(f,x)$, $(g,y)$, $(h,z)$ and $(u,v)$ as basic functions

\begin{theoa}\leavevmode
\begin{enumerate}\romanenumi
\item The 4-web $W$ has rank one.
\item Conversely, any germ of 4-web by curves in a 3-dimensional manifold $\mathcal U$ which has rank one, is isomorphic to a web made from three functions $Q,u,v$ by this way.
\end{enumerate}
\end{theoa}


\begin{lemmaa*}
Without loss of generality up to isomorphism, we may assume.\footnote{Notice however that two distinct such $(Q,u,v)$'s may still define isomorphic germs of webs.}
\[
Q= \frac{x^2}{2}+yz +\dots,\qquad u=y-x+\dots, \qquad v=z-x+\dots,
\]
where the points ``\dots'' mean : terms of higher order.

The case $ Q= \frac{x^2}{2}+yz$, $u=y-x$, $v=z-x$ is locally isomorphic (non-projectively) to the so-called \emph{quadrilateral} web, where each of the four foliations is the bunch of the lines through a point in the 3-dimensional projective space.
\end{lemmaa*}

A first (rough) invariant of the class of isomorphism is the number $d$ of pairs $1\leq \lambda < \mu\leq 4$ such that $V_\lambda\wedge V_\mu\wedge [V_\lambda,V_\mu]\equiv 0$, (i.e. such that there exists a foliation ${\mathcal F}_{\lambda\mu}$ by surfaces containing ${\mathcal F}_{\lambda }$ and ${\mathcal F}_{\mu}$). All integral values of $d$ from $d=0$ (the generic case) to $d=6$ (the quadrilateral case) may be gotten by webs of rank one, as it can be checked easily on examples.


\begin{theoa}
There are infinitely many classes of isomorphism of germs of 4-webs by curves, with rank one, in a three dimensional manifold.
\end{theoa}

In fact, denoting by $\phi_{ijk}$ the coefficient of $x^iy^jz^k$ in the Taylor expansion of a function $\phi$ near the origin, the expression $\frac{2Q_{120}-v_{110}+2v_{020}}{2Q_{201}+u_{101}+v_{101}}$ is an invariant of the class of isomorphism of the web (as far as its denominator doesn't vanish), which can take any scalar value.

A third kind of invariant is the abelian cohomology $H^2_{Ab}(W)$ of the germ of web $W$, of dimension~0 or 1 according to the fact that the 2-abelian relations are or not the differential of a 1-abelian relation: both cases may happen.

\selectlanguage{french}

\section{Introduction}


Le contexte est holomorphe ou analytique réel.


Dans une variété $\mathcal U$ de dimension $n$, on va s'intéresser aux $(n+1)$-tissus de courbes localement définis par $(n+1)$ feuilletages ${\mathcal F}_\lambda$, $(1\leq \lambda \leq n+1)$, dont on note $T({\mathcal F}_\lambda)$ le fibré tangent. On supposera toujours les feuilletages du tissu en \emph{position générale} : notant $ V_\lambda $ un champ de vecteurs engendrant $T({\mathcal F}_\lambda)$, $n$ quelconques parmi les $n+1$ champs de vecteurs $V_\lambda$ seront toujours supposés linéairement indépendants. Rappelons
\begin{itemize}
\item qu'une $p$-forme ${\mathcal F}$-basique pour un feuilletage ${\mathcal F}$ de codimension $\geq p$ est une $p$-forme $\eta$ sur la variété ambiante telle que $\iota_v\eta=0$ et $L_v\eta=0$ quel que soit le champ de vecteurs $v$ tangent au feuilletage, $\iota_v$ et $L_v(=\iota_v\circ d+d\circ \iota_v)$ désignant respectivement le produit intérieur et la dérivée de Lie,
\item et qu'une $p$-relation abélienne au voisinage d'un point de $V$ est la donnée d'une famille $(\eta_\lambda)_{1\leq \lambda\leq n+1}$ de $p$-formes, telle que $\sum_\lambda\eta_\lambda=0$, chaque $\eta_\lambda$ étant ${\mathcal F}_\lambda$-basique (si $p=n-1$, on dira \emph{relation abélienne} tout court en abrégé). Dans le cas présent, le rang du tissu (c'est-à-dire la dimension maximum de l'espace des germes de relations abéliennes en un point) est 0 ou 1, d'après Damiano (\cite{3}).
\end{itemize}

Ces tissus jouent un r\^ole important dans l'étude des $(n+3)$-tissus en courbes $W_{0,n+3}$ dits \emph{exceptionnels}, qui généralisent le 5-tissu de Bol ({\cite{2}}) de la dimension~2 : les $(n+1)$-sous-tissus de $W_{0,n+3}$ sont en effet tous de rang un. Damiano, qui appelle \emph{combinatoires} les relations abéliennes de $W_{0,n+3}$ que ces sous-tissus engendrent, a démontré, du moins si $n$ était pair, que l'espace des relations abéliennes de $W_{0,n+3}$ était somme directe de l'espace des relations abéliennes combinatoires et de l'espace engendré par la relation abélienne dite \emph{d'Euler} définie par Gelfand et MacPherson (\cite{6}) dans le contexte analytique réel (\cite{3, 4}). Si $n$ est impair, Pirio (\cite{8}) a démontré entre autres choses qu'il n'en était plus de m\^eme, et que l'espace des relations abéliennes combinatoires, qui incluait alors la relation d'Euler, était égal à \emph{tout} l'espace des relations abéliennes de $W_{0,n+3}$. C'est à cette occasion qu'il a posé quelques questions, auxquelles nous répondons partiellement dans cet article.\footnote{Nos résultats ont été annoncés dans \cite{5}.}


\section{Courbure des \texorpdfstring{$(n+1)$}{(n+1)}-tissus de courbes en dimension \texorpdfstring{$n$}{n}}

L'application $\Tr:(V_1,\dots,V_{n+1})\mapsto V_1+\dots +V_{n+1}$, de $\bigoplus_{\lambda=1}^{n+1} T({\mathcal F}_\lambda)$ dans $ T{\mathcal U}$, est de rang maximum $n$ en chaque point de $\mathcal U$, et son noyau $E:=\Ker\bigl(\Tr: \bigoplus_{\lambda=1}^{n+1} T({\mathcal F}_\lambda)\to T{\mathcal U}\bigr)$ est donc un fibré vectoriel de rang 1.

On conviendra que les indices notés $\lambda,\mu,\nu\dots$ (resp. $i,j,k,\dots$) varient entre 1 et $n+1$ (resp. entre~1 et $n$). Soit $\sigma=(V_\lambda)_\lambda$ une section locale de $E$, et $\sigma^{1-n} $ la section de $\bigotimes^{n-1}E^*$ qui lui correspond.

On notera :
\begin{itemize}
\item $(\alpha_i)_{1\leq i\leq n} $ la base locale du module des 1-formes, duale de la base locale $ (V_i)_{1\leq i\leq n} $ du module des champs de vecteurs, avec $V_{n+1}=-\sum_i V_i$, et $\dd\alpha_k=-\sum_{i<j} C_{ij}^k\ \alpha_i\wedge\alpha_j $ si $[V_i,V_j]=\sum_k C_{ij}^k V_k$,

\item $A_i$ la $(n-1)$-forme\footnote{Il est sous-entendu que les indices $j$ dans les produits extérieurs $\bigwedge_j$ ou $\bigwedge_{j,j\neq i}$ sont pris dans l'ordre croissant.} $ A_i:=(-1)^{i+1} .\bigwedge_{j,j\neq i} \alpha_j $

\item $\varphi_i$ la fonction $\varphi_i:=\sum_{j,j<i}C_{ji}^j-\sum_{j,i<j}C_{ij}^j$ telle que $\dA_i=\varphi_i . \bigwedge_{j} \alpha_j$,

\item $\omega$ la 1-forme $\omega:=\sum _i \varphi_i\ \alpha_i$, de sorte que $\dA_i=A_i\wedge \omega$, et
\item $\Omega:=\dd\omega$.
\end{itemize}

\begin{theo}\leavevmode
\begin{enumerate}\romanenumi
\item \label{1i} Les relations abéliennes locales non nulles du tissu s'identifient naturellement aux fonctions $f$ telles que
\begin{equation}\tag{$*$}\label{*}
\dd (\log f)=-\omega.
\end{equation}
Le tissu est donc de rang 1 ou 0 selon que la 2-forme $\Omega$ est nulle ou non.

\item \label{1ii} La connexion $\nabla$ définie localement sur $\bigotimes^{n-1}E^*$ en posant $\nabla {\sigma}^{1-n} = \omega. {\sigma}^{1-n}$ ne dépend ni de l'ordre\footnote{Ceci prouve aussi que cette construction s'étend au cas o\`u le tissu n'est pas globalement décomposable en $(n+1)$ feuilletages (monodromie).} des champs de vecteurs $V_\lambda$, ni de la section locale $\sigma=\{V_\lambda\}_\lambda$ de $E$ : les connexions ainsi définies localement se recollent et permettent de définir globalement une connexion sur $\bigotimes^{n-1}E^*$. Les relations abéliennes du tissu s'identifient donc encore naturellement aux sections de $\bigotimes^{n-1}E^*$ à dérivée covariante nulle et le tissu est de rang 1 ou 0 selon que la courbure $\Omega$ de cette connexion est nulle ou non.

\item \label{1iii} Pour $n=2$, la courbure $\Omega$ est la courbure de Blaschke.\footnote{Voir l'interprétation de la courbure de Blaschke en termes de courbure d'une certaine connexion sur un certain fibré dans A. Hénaut (\cite{7}).}
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{proof}
Pour qu'une $(n-1)$-forme $\sum_j f_j.A_j$ soit ${\mathcal F}_i$-basique, il faut et il suffit que soient réalisées les deux conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item les fonctions $f_j$ sont identiquement nulles si $j\neq i$,
\item la fonction $f_i$ est telle que $L_{V_i}(f_i.A_i)=0$, ce qui s'écrit encore :
\begin{equation}\tag{$*_i$}\label{*i}
(V_i.f_i) +f_i\ \varphi_i=0.
\end{equation}
\end{itemize}
Pour que $\bigl((f_1.A_1),(f_2.A_2),\dots,(f_n.A_n),-\sum_i(f_i.A_i)\bigr)$ soit une relation abélienne, il faut et il suffit que soient réalisées les conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item toutes les fonctions $f_i$ sont égales à une m\^eme fonction $f$, qui doit donc vérifier chacune des équations \eqref{*i}, ce qui s'écrit, si $f$ n'est pas nulle :
\begin{equation}\tag{$*$}
\dd (\log f)=-\omega.
\end{equation}
\item la condition $L_{V_{n+1}}\eta_{n+1}=0$ doit \^etre réalisée, o\`u l'on a posé : $\eta_{n+1}=\sum_i(f_i.A_i)$.
\end{itemize}
\noindent La première condition est la transcription de la condition $\iota_{V_{n+1}}(\eta_{n+1})=0$. Quant à la seconde, qui s'écrit encore $\sum_{i,j} L_{V_{i}} (f.A_j)=0$, elle est automatiquement vérifiée dès lors que $f$ vérifie \eqref{*} : en effet, $L_{V_{i}}(f\ A_j)=(V_i. f)\ A_j+f\bigl(\dd(\iota_{V_i}A_j)+\varphi_j\ A_j\bigr)$ et $\iota_{V_i}(A_j)=-\iota_{V_j}(A_i)$ pour $i\neq j$, tandis que $\iota_{V_i}(A_i)=0$, d'o\`u la partie \eqref{1i} du théorème.

Calculons la forme $\omega':=\sum_j\psi_j\ \beta_j$ que l'on aurait obtenue à la place de $\omega=\sum_i\varphi_i\ \alpha_i$ si l'on avait modifié l'ordre des indices $\lambda$ en permutant $\lambda_o$ et $n+1$. On obtiendrait :
\[
\beta_i=
\begin{cases}
\alpha_i-\alpha_{\lambda_o}&\text{si }i<\lambda_o, \text{ et }\beta_{\lambda_o}=-\alpha_{\lambda_o},\\
\alpha_{i+1}-\alpha_{\lambda_o} &\text{si }\lambda_o<i\leq n, \text{ et }\bigwedge_{i} \beta_i=- \bigwedge_{i}\alpha_i.
\end{cases}
\]
$A_i$ devient $-A_i$, d'o\`u $\psi_i=-\varphi_i$ si $i\neq\lambda_o$, tandis que $A_{\lambda_o}$ devient $-\sum_{i\neq \lambda_o} A_{i}$, d'o\`u $\psi_{\lambda_o}=\sum_i\varphi_i$, et $\omega'=\omega$. Ceci prouve que la connexion définie localement sur $\bigotimes^{n-1}E^*$ ne dépend pas de l'ordre des champs de vecteurs définissant $\sigma$.

Elle ne dépend pas non plus de la section $\sigma$ de $E$. En effet, si $u$ désigne une fonction arbitraire partout non nulle et si l'on remplace $\sigma=\{V_\lambda\}_\lambda$ par $\sigma'=\{uV_\lambda\}_\lambda$, la base duale $(\alpha'_i)_i$ vérifie : $\alpha'_i=\frac{1}{u}\alpha_i$ et $A'_i\bigl(=\bigwedge_{j,j\neq i}\alpha'_j\bigr)=\frac{1}{u^{n-1}}A_i$. On en déduit : $\dA'_i=\omega'\wedge\bigl(\bigwedge_{j\neq i}\alpha'_j\bigr) $
avec
\[
\omega'= \omega + \dd\log\Bigl(\frac{1}{ u^{n-1} }\Bigr) .
\]
Puisque $u$ est une fonction de transition du fibré $E$, $\frac{1}{u^{n-1}}$ est la fonction de transition du fibré $\bigotimes^{n-1}E^*$ qui lui correspond, d'o\`u la partie \eqref{1ii} du théorème.

Le procédé décrit ci-dessus pour définir la courbure généralise un procédé classique de construction de la courbure de Blaschke (\cite{1}) lorsque $n=2$, d'o\`u la partie \eqref{1iii}.
\end{proof}


On appellera \emph{courbure du tissu}\footnote{On peut aussi définir la connexion sur $\bigotimes^{n-1}E$ par dualité, la courbure restant la m\^eme au signe près.} la courbure $ \Omega= \dd\omega$ de la connexion $\nabla$.

\section{Description des germes de 4-tissus en courbes, de rang un, en dimension trois}

Notons $(x,y,z)$ des coordonnées locales et donnons nous trois fonctions $Q,u,v$ de $(x,y,z)$. Posons:
\[
f=Q'_x-u.v'_x ,\quad g=Q'_y-u.v'_y \quad\text{et}\quad h=Q'_z-u.v'_z ,
\]
et supposons que trois des quatre 2-formes $\df\wedge \dx$, $\dg\wedge \dy$, $\ddh\wedge \dz$ et
$\du\wedge \dv$ sont toujours linéairement indépendantes. Notons $W$ le 4-tissu en courbes formé par les quatre feuilletages admettant respectivement comme système de fonctions basiques $(f,x)$, $(g,y)$, $(h,z)$ et $(u,v)$.

\begin{theo}\leavevmode
\begin{enumerate}\romanenumi
\item \label{2i} Le 4-tissu $W$ est de rang un
\item \label{2ii} Réciproquement, tout germe de 4-tissu en courbes, de rang un, dans une variété de dimension trois, est nécessairement isomorphe à un tissu fabriqué de cette façon à partir de trois fonctions $Q,u,v$.
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{proof}
De la définition des fonctions $f,g,h$, on déduit les égalités
\[
\dd Q=f.\dx +g.\dy+h.\dz+u.\dv \quad\text{et}\quad
\df\wedge \dx+\dg\wedge \dy+\ddh\wedge \dz+\du\wedge \dv=0.
\]
Comme les 2-formes $\df\wedge \dx$, $\dg\wedge \dy$, $\ddh\wedge \dz$ et $\du\wedge \dv$ sont respectivement basiques relativement à chacun des feuilletages constituant le tissu $W$, la deuxième de ces égalités définit une 2-relation abélienne non nulle sur le tissu, qui est donc de rang un.

Réciproquement, on se donne un germe de 4-tissu de codimension deux au voisinage d'un point en dimension trois. On peut toujours choisir les coordonnées locales $(x,y,z)$ de façon que $x$ (resp. $y$, resp. $z$) soit fonction basique du premier (resp. du second, resp. du troisième) feuilletage : il existe donc cinq fonctions $f,g,h,u,v$ de $(x,y,z)$, telles que les quatre feuilletages soient respectivement définis localement par les couples de fonctions basiques $(f,x)$, $(g,y)$, $(h,z)$ et $(u,v)$. Supposons qu'il existe une relation abélienne non triviale
\[
A(f,x)\,\df\wedge \dx+B(g,y)\,\dg\wedge \dy+C(h,z)\,\ddh\wedge \dz+D(u,v)\,\du\wedge \dv=0.
\]
Notons respectivement $F(r,x)$, $G(r,y)$, $H(r,z)$ et $ U(r,v) $ une primitive de $A(r,x)$ (resp. de $B(r,y)$, de $C(r,z)$, de $D(r,v)$) relativement à la variable $r$ : on peut alors remplacer $f(x,y,z)$ par $F\bigl(f(x,y,z),x\bigr)$ dans la définition du premier feuilletage, et de m\^eme prendre $G\bigl(g,y\bigr)$ au lieu de $g$, $H\bigl(h,z\bigr)$ au lieu de $h$, et $U (u,v)$ au lieu de $u$. Autrement dit, on peut toujours choisir les fonctions $f,g,h$ et $u$ de façon que la relation abélienne s'écrive :
\[
\df\wedge \dx+\dg\wedge \dy+ \ddh\wedge \dz+ \du\wedge \dv=0,
\]
ce qui implique :
\[
\dd\bigl(f\,\dx+g\,\dy+h\,\dz+u\,\dv\bigr)=0.
\]
Au niveau des germes au voisinage d'un point, on peut appliquer le lemme de Poincaré : il existe une fonction $Q$ telle que $\dd Q=f\,\dx+g\,\dy+h\,\dz+u\,\dv$,
d'o\`u
\[
f=Q'_x-u.v'_x,\quad g=Q'_y-u.v'_y,\quad h=Q'_z-u.v'_z.
\]

Notons que des triplets $(Q_1,u_1,v_1)$ et $(Q_2,u_2,v_2)$ distincts peuvent définir des tissus isomorphes. Nous ne savons pas trouver une forme normale pour $(Q,u,v)$ caractérisant entièrement la classe d'isomorphisme du tissu associé.

Cependant, au voisinage de l'origine, on peut faire un changement de coordonnées de façon que des champs de vecteurs $(V_\lambda)$, $(1\leq \lambda\leq 4)$ définissant les feuilletages soient respectivement égaux à l'origine aux vecteurs $V_1^o=(0,0,1)$, $V_2^o=(1,0,0)$, $V_3^o=(0,1,0)$, $V_4^o=(1,1,1)$. On peut aussi imposer aux fonctions $f, g, h, u, v$, toutes basiques pour l'un des feuilletages du tissu, d'\^etre nulles à l'origine. Ces conditions impliquent :

\begin{lemm*}
On peut supposer, sans perte de généralité à isomorphisme près :
\[
Q= \frac{x^2}{2}+yz +\dots,\hskip 1cm \ \ u=y-x+\dots, \ \ \hskip 1cm v=z-x+\dots
\]
les points de suspension indiquant des termes d'ordre supérieur.
\end{lemm*}

Le cas $\bigl(Q=yz+\frac{x^2}{2}$, $u=y-x$, $v=z-x\bigr)$ correspond au tissu dit \emph{quadrilatéral}, consistant en quatre pinceaux de droites parallèles\footnote{Ce tissu est aussi localement isomorphe (non projectivement) au tissu défini par les quatre pinceaux de droites de sommets respectifs $[1:0:0:0]$, $[0:1:0:0]$, $[0:0:1:0]$, et $[0:0:0:1]$.} dans un espace projectif de dimension~3.

Soit $d$ le nombre de couples $1\leq \lambda < \mu\leq 4$ tels que $V_\lambda\wedge V_\mu\wedge [V_\lambda,V_\mu]\equiv 0$, c'est-à-dire tels qu'il existe un feuilletage ${\mathcal F}_{\lambda\mu}$ en surfaces contenant ${\mathcal F}_{\lambda }$ et ${\mathcal F}_{\mu}$. Cet entier est un invariant (relativement grossier) de la classe d'isomorphisme du germe de tissu\footnote{Il est clair que des invariants analogues peuvent se définir dans des situations beaucoup plus générales.}. Cependant, il peut prendre toutes les valeurs entières de 0 (cas générique) à 6 (cas quadrilatéral\footnote{Réciproquement, si $d=6$, le tissu est quadrilatéral.}) avec des exemples tous de rang 1 : par exemple, si $W_P$ désigne le tissu défini à partir de $P=(a,b,c,a_1,b_1,c_1,e)$ par
\[
Q=yz+\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\bigl(xy(ax+a_1y)+yz(by+b_1z)+xz(cz+c_1x)\bigr)+e\ xyz,\quad u=y-x,\quad v=z-x,
\]
on obtient alors :
\begin{itemize}
\item $d=1$ pour $P=(0,0,-2,-1,0,1,1)$, $d=2$ pour $(0,0,0,1,1,0,0)$, $d=3$ pour $(-2,-2,-2,1,1,1,1)$,
\item $d=4$ pour $(-1,-1,0,1,1,0,0)$, et $d=5$ pour $(-1,0,0,1,0,0,0)$.
\end{itemize}
Ceci prouve déjà
\begin{itemize}
\item que la quadrilatéralité est une propriété beaucoup plus forte, pour un tel 4-tissu, que le simple fait d'\^etre de rang un,
\item et qu'il existe plusieurs classes d'isomorphisme dans l'ensemble des germes de 4-tissus de courbes qui sont de rang un, en dimension trois (contrairement à ce qui se passe en dimension deux o\`u tous les 3-tissus de rang un sont localement isomophes).
\end{itemize}
Il en existe en fait une infinité :

\begin{theo}
Il existe une infinité non dénombrable de classes d'isomorphisme de germes de 4-tissus en courbes, de rang un, dans une variété de dimension trois.
\end{theo}

\begin{proof}
Notant $\phi_{ijk}$ le coefficient de $x^iy^jz^k$ dans la série de Taylor d'une fonction $\phi$ au voisinage de l'origine, on montre, à l'aide de Maple, que l'expression
\[
\frac{2Q_{120}-v_{110}+2v_{020}}{2Q_{201}+u_{101}+v_{101}}
\]
est un invariant de la classe d'isomorphisme du germe de tissu, que l'on peut évidemment faire varier à volonté dès lors que son dénominateur n'est pas nul. Par exemple, $W_a$ et $W_b$ ne sont pas isomorphes si $a\neq b$, $W_a$ désignant pour tout scalaire $a$ le germe de tissu défini par
\[
Q=yz+\frac{x^2}{2} +a xy^2+ {x^2z},\quad u=y-x,\quad v=z-x.
\]


Un troisième genre d'invariant est la cohomologie $H^2_{Ab}(W)$ du tissu, de dimension~0 ou 1, selon que la 2-relation abélienne $\df\wedge \dx+\dg\wedge \dy+\ddh\wedge \dz+\du\wedge \dv=0$ est ou non la différentielle d'une 1-relation abélienne : par exemple, $H^2_{Ab}(W)=0$ pour le tissu quadrilatéral, car
\[
\df\wedge \dx+\dg\wedge \dy+\ddh\wedge \dz+\du\wedge \dv=\dd\bigl(f \,\dx+g\,\dy+h\,(\dz-\ddh)+u\,\dv\bigr).
\]
Mais si $Q=\frac{x^2}{2}+yz+\frac{1}{1-xyz}-1$, $u=y-x$, et $v=z-x$, avec $|xyz|<1$, $H^2_{Ab}(W)\neq 0$. En effet, une condition nécessaire et suffisante pour que $H^2_{Ab}(W)$ s'annule est qu'il existe des fonctions $A,B,C,D$ de deux variables telles que
\begin{equation}\tag{$E$}\label{E}
A(f,x)+B(g,y)+C(h,z)+D(u,v)-Q\equiv 0
\end{equation}
au voisinage de l'origine (par exemple $Q=yg+\frac{h^2}{2}$ pour le tissu quadrilatéral). Or, selon Maple, dans le cas de l'exemple ci-dessus, l'équation $(E_k)$ obtenue en remplaçant le premier membre de \eqref{E} par son développement limité à l'ordre $k$ n'a pas de solution pour $k\geq 8$.
\end{proof}
\end{proof}

\bibliographystyle{crplain}
\bibliography{CRMATH_Lehmann_20230047}
\end{document}