Déviations de moyennes ergodiques, flots de Teichmüller et cocycle de Kontsevich-Zorich

Krikorian, Raphaël

Séminaire Bourbaki : volume 2003/2004, exposés 924-937, Astérisque, no. 299 (2005), Exposé no. 927, pp. 59-93.

Résumé
Abstract

Étant donnée une fonction régulière de moyenne nulle sur le tore de dimension $2$ , il est facile de voir que ses intégrales ergodiques au-dessus d’un flot de translation “générique”sont bornées. Il y a une dizaine d’années, A. Zorich a observé numériquement une croissance en puissance du temps de ces intégrales ergodiques au-dessus de flots d’hamiltoniens (non-exacts) “génériques”sur des surfaces de genre supérieur ou égal à $2$ , et Kontsevich et Zorich ont proposé une explication (conjecturelle) de ce phénomène par l’analyse du flot de Teichmüller sur l’espace des modules des différentielles abéliennes. Le but de l’exposé est de présenter quelques idées de la preuve que G. Forni a donnée de la conjecture de Kontsevich et Zorich.

Given a regular function with zero mean on the $2$ -dimensional torus, it is not difficult to see that its ergodic averages above a “generic” translation of the torus are bounded. A decade ago, A. Zorich observed numerically a power law growth of these ergodic averages above generic non exact hamiltonian flows on higher genus surfaces and Kontsevich and Zorich proposed an explanation of this phenomenon by analysing the Teichmüller flow on the moduli space of abelian differentials. We intend to give in the present talk an exposition of some of the ideas of Giovanni Forni’s proof of the Kontsevich-Zorich conjecture.

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Classification : 37F30, 32G15, 37H15, 58A14, 14D07
Mot clés : moyennes ergodiques, espace des modules, différentielles quadratiques, théorème d'Oseledec, exposants de Lyapunov, courants, théorie de Hodge, matrice des périodes
Keywords: ergodic means, moduli spaces, quadratic differentials, Oseledec theorem, Lyapunov exponents, currents, Hodge theory, period matrix

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Krikorian, Raphaël. Déviations de moyennes ergodiques, flots de Teichmüller et cocycle de Kontsevich-Zorich, dans Séminaire Bourbaki : volume 2003/2004, exposés 924-937, Astérisque, no. 299 (2005), Exposé no. 927, pp. 59-93. https://www.numdam.org/item/SB_2003-2004__46__59_0/

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