Les fondements de la géométrie selon Poincaré
Zahar, E. G.1
1 Département d’Histoire et de Philosophie des Sciences Université de Cambridge
Philosophia Scientiae, Contributions à l’histoire des mathématiques au XIXe siècle, Tome 4 (2000) no. 1, pp. 145-186.

Dans cet article, nous poursuivrons deux buts. Le premier est de montrer qu'en géométrie mathématique, Poincaré, rejetant tout apriorisme, est véritablement conventionnaliste : les postulats géométriques sont regardés comme des définitions déguisées des notions de base, leur rôle se réduisant à la détermination de certains modèles, c’est-à-dire d’interprétations qui vérifient les axiomes fondamentaux. Poincaré use d’une heuristique unifiée fondée sur la théorie du groupe des T.M. (Transformations de Möbius). Cette méthode, initiée dans ses travaux sur les fonctions fuchsiennes, aboutit à la construction de deux modèles de la géométrie hyperbolique : le demi-plan Δ et le disque Ω, qui sont ensuite appliqués l’un sur l’autre au moyen d’une T.M. De ces considérations algébriques Poincaré tire l'expression analytique de la distance riemannienne ds. Notre second but est de défendre la thèse qu’en ce qui concerne la géométrie physique, Poincaré souscrit à un réalisme ontologique structurel, son conventionnalisme étant d'un ordre, non pas métaphysique, mais strictement épistémologique. Sa méthode consiste à poser - ou plutôt à conjecturer - une métrique riemannienne couplée à un champ universel, ce dernier pouvant naturellement être nul. Poincaré adopte une attitude réaliste vis-à-vis du champ et de la géométrie sous-jacente ; pourvu, bien sûr, que celle-ci soit intégrée dans un système scientifique unifié et corroboré par l'expérience. D'une manière générale, Poincaré tient le degré de commodité - c'est-à-dire d'unité et de simplicité - d'une théorie pour une mesure objective de sa vérisimilitude ou proximité de la vérité. Il faut noter que cette notion de vérisimilitude reste intuitive, donc non mathématisée. Nous montrons finalement que, de l'aveu même d'Einstein, la Relativité Générale est tout à fait compatible avec le point de vue épistémologique de Poincaré.

Zahar, E. G. 1

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