Certain codes related to generalized paperfolding sequences

Kamiya, Yuichi; Murata, Leo

doi:10.5802/jtnb.896

Kamiya, Yuichi ¹ ; Murata, Leo ²

¹ Department of Modern Economics Faculty of Economics Daito Bunka University 560 Iwadono, Higashi-Matsuyama Saitama 355-8501, Japan
² Department of Mathematics Faculty of Economics Meiji Gakuin University 1-2-37 Shirokanedai Minato-ku, Tokyo 108-8636, Japan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 1, pp. 149-169.

Résumé
Abstract

Soit RBC le code binaire réfléchi, qui est aussi connu sous le nom de code de Gray, soit $S_{RBC}$ la somme des chiffres pour RBC, et soit ${P_{b_{0}} (n)}_{n = 1}^{\infty}$ la suite du pliage régulier de papier. Les auteurs ont montré que la différence première de la somme des chiffres pour RBC, ${S_{RBC} (n) - S_{RBC} (n - 1)}_{n = 1}^{\infty}$ , coïncide avec ${P_{b_{0}} (n)}_{n = 1}^{\infty}$ . Pour toute suite infinie $b = {b_{k}}_{k = 0}^{\infty}$ , avec $b_{k} \in {- 1, 1}$ , on peut construire une suite infinie ${P_{b} (n)}_{n = 1}^{\infty}$ , appelée suite de pliage de papier généralisée associée à $b$ . Dans cet article, supposons que la suite $b$ est periodique, nous proposons un nouveau code (de numération) $𝒞_{b}$ défini par $b$ , et nous étudions les propriétés du code $𝒞_{b}$ dans le Théorème 1.2. Nous montrons que la différence première de la somme des chiffres pour $𝒞_{b}$ , ${S_{𝒞_{b}} (n) - S_{𝒞_{b}} (n - 1)}_{n = 1}^{\infty}$ , coïncide avec la suite de pliage de papier généralisée ${P_{b} (n)}_{n = 1}^{\infty}$ (Théorème 1.1). Puis nous donnons une formule exacte pour la moyenne de la somme des chiffres pour $𝒞_{b}$ dans le Théorème 1.3.

Let RBC be the reflected binary code, which is also called the Gray code, $S_{RBC}$ be the sum of digits function for RBC, and ${P_{b_{0}} (n)}_{n = 1}^{\infty}$ be the regular paperfolding sequence. In their previous work the authors proved that the difference function of the sum of digits function for RBC, ${S_{RBC} (n) - S_{RBC} (n - 1)}_{n = 1}^{\infty}$ , coincides with ${P_{b_{0}} (n)}_{n = 1}^{\infty}$ . From an infinite sequence $b = {b_{k}}_{k = 0}^{\infty}$ with $b_{k} \in {- 1, 1}$ , one can construct an infinite sequence ${P_{b} (n)}_{n = 1}^{\infty}$ which is called the generalized paperfolding sequence with respect to $b$ . In this paper, when we assume $b$ is periodic, we propose a new numeration code $𝒞_{b}$ , and study some properties of the code $𝒞_{b}$ in Theorem 1.2. We can prove that the difference function of the sum of digits function $S_{𝒞_{b}}$ for $𝒞_{b}$ , ${S_{𝒞_{b}} (n) - S_{𝒞_{b}} (n - 1)}_{n = 1}^{\infty}$ , coincides with the generalized paperfolding sequence ${P_{b} (n)}_{n = 1}^{\infty}$ (Theorem 1.1). We also give an exact formula for the average of $S_{𝒞_{b}}$ in Theorem 1.3.

DOI : 10.5802/jtnb.896

Classification : 11B85, 11A25
Mots-clés : Paperfolding sequence, Numeration system, Sum of digits function

Affiliations des auteurs :

Kamiya, Yuichi ¹ ; Murata, Leo ²

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Kamiya, Yuichi; Murata, Leo. Certain codes related to generalized paperfolding sequences. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 1, pp. 149-169. doi : 10.5802/jtnb.896. https://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.896/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :