On Robin’s criterion for the Riemann hypothesis

Choie, YoungJu; Lichiardopol, Nicolas; Moree, Pieter; Solé, Patrick

doi:10.5802/jtnb.591

Choie, YoungJu ¹ ; Lichiardopol, Nicolas ² ; Moree, Pieter ³ ; Solé, Patrick ⁴

¹ Dept of Mathematics POSTECH Pohang, Korea 790-784
² ESSI Route des Colles 06 903 Sophia Antipolis, France
³ Max-Planck-Institut für Mathematik Vivatsgasse 7 D-53111 Bonn, Germany
⁴ CNRS-I3S ESSI Route des Colles 06 903 Sophia Antipolis, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 2, pp. 357-372.

Résumé
Abstract

Le critère de Robin spécifie que l’hypothèse de Riemann (RH) est vraie si et seulement si l’inégalité de Robin $σ (n) : = \sum_{d | n} d < e^{γ} n log log n$ est vérifiée pour $n \geq 5041$ , avec $γ$ la constante d’Euler(-Mascheroni). Nous montrons par des méthodes élémentaires que si $n \geq 37$ ne satisfait pas au critère de Robin il doit être pair et il n’est ni sans facteur carré ni non divisible exactement par un premier. Utilisant une borne de Rosser et Schoenfeld, nous montrons, en outre, que $n$ doit être divisible par une puissance cinquième $> 1$ . Comme corollaire, nous obtenons que RH est vraie ssi chaque entier naturel divisible par une puissance cinquième $> 1$ vérifie l’inégalité de Robin.

Robin’s criterion states that the Riemann Hypothesis (RH) is true if and only if Robin’s inequality $σ (n) : = \sum_{d | n} d < e^{γ} n log log n$ is satisfied for $n \geq 5041$ , where $γ$ denotes the Euler(-Mascheroni) constant. We show by elementary methods that if $n \geq 37$ does not satisfy Robin’s criterion it must be even and is neither squarefree nor squarefull. Using a bound of Rosser and Schoenfeld we show, moreover, that $n$ must be divisible by a fifth power $> 1$ . As consequence we obtain that RH holds true iff every natural number divisible by a fifth power $> 1$ satisfies Robin’s inequality.

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.591

Affiliations des auteurs :

Choie, YoungJu ¹ ; Lichiardopol, Nicolas ² ; Moree, Pieter ³ ; Solé, Patrick ⁴

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Bibliographie
Cité par

[1] T. M. Apostol, Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. | MR | Zbl

[2] K. Briggs, Abundant numbers and the Riemann hypothesis. Experiment. Math. 15 (2006), 251–256. | MR

[3] J. H. Bruinier, Primzahlen, Teilersummen und die Riemannsche Vermutung. Math. Semesterber. 48 (2001), 79–92. | MR | Zbl

[4] S. R. Finch, Mathematical constants. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, Cambridge, 2003. | MR | Zbl

[5] J. C. Lagarias, An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis. Amer. Math. Monthly 109 (2002), 534–543. | MR | Zbl

[6] J.-L. Nicolas, Petites valeurs de la fonction d’Euler. J. Number Theory 17 (1983), 375–388. | Zbl

[7] S. Ramanujan, Collected Papers. Chelsea, New York, 1962.

[8] S. Ramanujan, Highly composite numbers. Annotated and with a foreword by J.-L. Nicolas and G. Robin. Ramanujan J. 1 (1997), 119–153. | MR | Zbl

[9] G. Robin, Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann. J. Math. Pures Appl. (9) 63 (1984), 187–213. | MR | Zbl

[10] J. B. Rosser and L. Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of prime numbers. Illinois J. Math. 6 (1962), 64–94. | MR | Zbl

[11] G. Tenenbaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46, Cambridge University Press, Cambridge, 1995. | MR | Zbl

Cité par Sources :