On the generalized principal ideal theorem of complex multiplication

Schertz, Reinhard

doi:10.5802/jtnb.566

Schertz, Reinhard ¹

¹ Institut für Mathematik der Universität Augsburg Universitätsstraße 8 86159 Augsburg, Germany

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 18 (2006) no. 3, pp. 683-691.

Résumé
Abstract

Dans le $p^{n}$ -ième corps cyclotomique $ℚ_{p^{n}}, p$ un nombre premier, $n \in ℕ$ , le premier $p$ est totalement ramifié, l’idéal au dessus de $p$ dans $ℚ_{p^{n}}$ étant engendré par $ω_{n} = ζ_{p^{n}} - 1$ avec une racine primitive $p^{n}$ -ième de l’unité $ζ_{p^{n}} = e^{\frac{2 π i}{p^{n}}}$ . De plus ces nombres constituent un ensemble qui vérifie la relation de norme $N_{ℚ_{p^{n + 1}}} ℚ_{p^{n}} (ω_{n + 1}) = ω_{n}$ . Le but de cet article est d’établir un résultat analogue pour les corps de classes de rayon $K_{𝔭^{n}}$ de conducteur $𝔭^{n}$ d’un corps quadratique imaginaire $K$ , où $𝔭^{n}$ est une puissance d’un idéal premier dans $K$ . Un tel résultat est obtenu en remplaçant la fonction exponentielle par une fonction elliptique convenable.

In the $p^{n}$ -th cyclotomic field $ℚ_{p^{n}}, p$ a prime number, $n \in ℕ$ , the prime $p$ is totally ramified and the only ideal above $p$ is generated by $ω_{n} = ζ_{p^{n}} - 1$ , with the primitive $p^{n}$ -th root of unity $ζ_{p^{n}} = e^{\frac{2 π i}{p^{n}}}$ . Moreover these numbers represent a norm coherent set, i.e. $N_{ℚ_{p^{n + 1}}} / ℚ_{p^{n}} (ω_{n + 1}) = ω_{n}$ . It is the aim of this article to establish a similar result for the ray class field $K_{𝔭^{n}}$ of conductor $𝔭^{n}$ over an imaginary quadratic number field $K$ where $𝔭^{n}$ is the power of a prime ideal in $K$ . Therefore the exponential function has to be replaced by a suitable elliptic function.

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.566

Affiliations des auteurs :

Schertz, Reinhard ¹

¹ Institut für Mathematik der Universität Augsburg Universitätsstraße 8 86159 Augsburg, Germany

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Schertz, Reinhard. On the generalized principal ideal theorem of complex multiplication. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 18 (2006) no. 3, pp. 683-691. doi : 10.5802/jtnb.566. https://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.566/

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