Cohen-Lenstra sums over local rings

Wittmann, Christian

doi:10.5802/jtnb.471

Wittmann, Christian ¹

¹ Universität der Bundeswehr München Fakultät für Informatik Institut für Theoretische Informatik und Mathematik 85577 Neubiberg, Germany

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 817-838.

Résumé
Abstract

On étudie des séries de la forme $\sum_{M} | {Aut}_{R} {(M) |}^{- 1} {| M |}^{- u}$ , où $R$ est un anneau commutatif local et $u$ est un entier non-negatif, la sommation s’étendant sur tous les $R$ -modules finis, à isomorphisme prés. Ce problème est motivé par les heuristiques de Cohen et Lenstra sur les groupes des classes des corps de nombres, où de telles sommes apparaissent. Si $R$ a des propriétés additionelles, on reliera les sommes ci-dessus à une limite de fonctions zêta des modules libres $R^{n}$ , ces fonctions zêta comptant les sous- $R$ -modules d’indice fini dans $R^{n}$ . En particulier on montrera que cela est le cas pour l’anneau de groupe $ℤ_{p} [C_{p^{k}}]$ d’un groupe cyclique d’ordre $p^{k}$ sur les entiers $p$ -adiques. Par conséquant on pourra prouver une conjecture de [5], affirmant que la somme ci-dessus correspondante à $R = ℤ_{p} [C_{p^{k}}]$ et $u = 0$ converge. En outre on considère des sommes raffinées, où $M$ parcourt tous les modules satisfaisant des conditions cohomologiques additionelles.

We study series of the form $\sum_{M} | {Aut}_{R} {(M) |}^{- 1} {| M |}^{- u}$ , where $R$ is a commutative local ring, $u$ is a non-negative integer, and the summation extends over all finite $R$ -modules $M$ , up to isomorphism. This problem is motivated by Cohen-Lenstra heuristics on class groups of number fields, where sums of this kind occur. If $R$ has additional properties, we will relate the above sum to a limit of zeta functions of the free modules $R^{n}$ , where these zeta functions count $R$ -submodules of finite index in $R^{n}$ . In particular we will show that this is the case for the group ring $ℤ_{p} [C_{p^{k}}]$ of a cyclic group of order $p^{k}$ over the $p$ -adic integers. Thereby we are able to prove a conjecture from [5], stating that the above sum corresponding to $R = ℤ_{p} [C_{p^{k}}]$ and $u = 0$ converges. Moreover we consider refined sums, where $M$ runs through all modules satisfying additional cohomological conditions.

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.471

Classification : 11S45, 16H05, 20C05

Affiliations des auteurs :

Wittmann, Christian ¹

¹ Universität der Bundeswehr München Fakultät für Informatik Institut für Theoretische Informatik und Mathematik 85577 Neubiberg, Germany

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Wittmann, Christian. Cohen-Lenstra sums over local rings. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 817-838. doi : 10.5802/jtnb.471. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.471/

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