Algebraic independence over $\mathbb{Q}_p$

Bundschuh, Peter; Nishioka, Kumiko

doi:10.5802/jtnb.458

Algebraic independence over

ℚ_{p}

Bundschuh, Peter ¹ ; Nishioka, Kumiko ²

¹ Mathematisches Institut Universität zu Köln Weyertal 86-90 50931 Köln, Germany
² Mathematics, Hiyoshi Campus Keio University 4-1-1 Hiyoshi, Kohoku-ku Yokohama 223-8521, Japan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 519-533.

Résumé
Abstract

Soit $f (x)$ une série entière $\sum_{n \geq 1} ζ (n) x^{e (n)}$ , où $(e (n))$ est une suite récurrente linéaire d’entiers naturels, strictement croissante, et $(ζ (n))$ une suite de racines de l’unité dans ${\bar{ℚ}}_{p}$ , qui satisfait à une hypothèse technique convenable. Alors nous nous sommes particulièrement intéressés à caractériser l’indépendance algébrique sur $ℚ_{p}$ des éléments $f (α_{1}), ..., f (α_{t})$ de $ℂ_{p}$ en fonction des $α_{1}, ..., α_{t} \in ℚ_{p}$ , deux à deux distincts, avec $0 < | α_{τ} |_{p} < 1$ pour $τ = 1, ..., t$ . Une application remarquable de notre résultat principal dit que, dans le cas $e (n) = n$ , l’ensemble ${f (α) | α \in ℚ_{p}, 0 < | α |_{p} < 1}$ est algébriquement indépendant sur $ℚ_{p}$ , si $(ζ (n))$ satisfait à “l’hypothèse technique”. Nous terminerons par une conjecture portant sur des suites $(e (n))$ plus générales.

Let $f (x)$ be a power series $\sum_{n \geq 1} ζ (n) x^{e (n)}$ , where $(e (n))$ is a strictly increasing linear recurrence sequence of non-negative integers, and $(ζ (n))$ a sequence of roots of unity in ${\bar{ℚ}}_{p}$ satisfying an appropriate technical condition. Then we are mainly interested in characterizing the algebraic independence over $ℚ_{p}$ of the elements $f (α_{1}), ...,$ $f (α_{t})$ from $ℂ_{p}$ in terms of the distinct $α_{1}, ..., α_{t} \in ℚ_{p}$ satisfying $0 < | α_{τ} |_{p} < 1$ for $τ = 1, ..., t$ . A striking application of our basic result says that, in the case $e (n) = n$ , the set ${f (α) | α \in ℚ_{p}, 0 < | α |_{p} < 1}$ is algebraically independent over $ℚ_{p}$ if $(ζ (n))$ satisfies the “technical condition”. We close with a conjecture concerning more general sequences $(e (n))$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.458

Affiliations des auteurs :

Bundschuh, Peter ¹ ; Nishioka, Kumiko ²

¹ Mathematisches Institut Universität zu Köln Weyertal 86-90 50931 Köln, Germany
² Mathematics, Hiyoshi Campus Keio University 4-1-1 Hiyoshi, Kohoku-ku Yokohama 223-8521, Japan

@article{JTNB_2004__16_3_519_0,
     author = {Bundschuh, Peter and Nishioka, Kumiko},
     title = {Algebraic independence over $\mathbb{Q}_p$},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {519--533},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
     volume = {16},
     number = {3},
     year = {2004},
     doi = {10.5802/jtnb.458},
     zbl = {1082.11048},
     mrnumber = {2144955},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.458/}
}

TY  - JOUR
AU  - Bundschuh, Peter
AU  - Nishioka, Kumiko
TI  - Algebraic independence over $\mathbb{Q}_p$
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2004
SP  - 519
EP  - 533
VL  - 16
IS  - 3
PB  - Université Bordeaux 1
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.458/
DO  - 10.5802/jtnb.458
LA  - en
ID  - JTNB_2004__16_3_519_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Bundschuh, Peter
%A Nishioka, Kumiko
%T Algebraic independence over $\mathbb{Q}_p$
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2004
%P 519-533
%V 16
%N 3
%I Université Bordeaux 1
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.458/
%R 10.5802/jtnb.458
%G en
%F JTNB_2004__16_3_519_0

Bundschuh, Peter; Nishioka, Kumiko. Algebraic independence over $\mathbb{Q}_p$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 519-533. doi : 10.5802/jtnb.458. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.458/

Bibliographie
Cité par

[1] Y. Amice, Les nombres $p$ -adiques. Presses Universitaires de France, Paris, 1975. | MR | Zbl

[2] P. Bundschuh, V.G. Chirskii, Algebraic independence of elements from $ℂ_{p}$ over $ℚ_{p}$ , I. Arch. Math. 79 (2002), 345–352. | MR | Zbl

[3] P. Bundschuh, V.G. Chirskii, Algebraic independence of elements from $ℂ_{p}$ over $ℚ_{p}$ , II Acta Arith. 113 (2004), 309–326. | MR | Zbl

[4] F.Q. Gouvêa, $p$ -adic Numbers. Springer-Verlag, Berlin et al., 1993. | MR | Zbl

[5] G. Hansel, Une démonstration simple du théorème de Skolem-Mahler-Lech. Theoret. Comput. Sci. 43 (1986), 91–98. | MR | Zbl

[6] N. Koblitz, $p$ -adic Numbers, $p$ -adic Analysis, and Zeta-Functions, 2nd ed. Springer-Verlag, New York, 1984. | MR | Zbl

[7] K.K. Kubota, On the algebraic independence of holomorphic solutions of certain functional equations and their values. Math. Ann. 227 (1977), 9–50. | MR | Zbl

[8] D. Lampert, Algebraic $p$ -adic Expansions. J. Number Theory 23 (1986), 279–284. | MR | Zbl

[9] K. Nishioka, $p$ -adic transcendental numbers. Proc. Amer. Math. Soc. 108 (1990), 39–41. | MR | Zbl

[10] K. Nishioka, Mahler Functions and Transcendence. LNM 1631, Springer-Verlag, Berlin et al., 1996. | MR | Zbl

[11] A.B. Shidlovskii, Transcendental Numbers. De Gruyter, Berlin et al., 1989. | MR | Zbl

[12] T.N. Shorey, R. Tijdeman, Exponential Diophantine Equations. Cambridge Univ. Press, 1986. | MR | Zbl

Cité par Sources :