Waring's problem for sixteen biquadrates. Numerical results

Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard

Deshouillers, Jean-Marc ; Hennecart, François ; Landreau, Bernard

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 411-422.

Résumé
Abstract

Nous expliquons les algorithmes qui nous ont permis de vérifier que tout entier congru à $4$ modulo $80$ dans l’intervalle $[6 \times 10^{12}; 2.17 \times 10^{14}]$ est la somme de $5$ bicarrés, et que tout entier congru à $6, 21$ ou $36$ modulo $80$ dans l’intervalle $[6 \times 10^{12}; 1.36 \times 10^{23}]$ est la somme de $7$ bicarrés. Nous indiquons également des résultats déduits de calculs portant sur les petites sommes de bicarrés. L’escalade de Dickson appliquée à ces résultats montre que tout entier de l’intervalle $[13793; 10^{245}]$ est la somme de $16$ bicarrés.

We explain the algorithms that we have implemented to show that all integers congruent to $4$ modulo $80$ in the interval $[6 \times 10^{12}; 2.17 \times 10^{14}]$ are sums of five fourth powers, and that all integers congruent to $6, 21$ or $36$ modulo $80$ in the interval $[6 \times 10^{12}; 1.36 \times 10^{23}]$ are sums of seven fourth powers. We also give some results related to small sums of biquadrates. Combining with the Dickson ascent method, we deduce that all integers in the interval $[13793; 10^{245}]$ are sums of $16$ biquadrates.

MR Zbl | 1 citation dans Numdam

@article{JTNB_2000__12_2_411_0,
     author = {Deshouillers, Jean-Marc and Hennecart, Fran\c{c}ois and Landreau, Bernard},
     title = {Waring's problem for sixteen biquadrates. {Numerical} results},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {411--422},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {12},
     number = {2},
     year = {2000},
     mrnumber = {1823193},
     zbl = {0972.11093},
     language = {en},
     url = {https://www.numdam.org/item/JTNB_2000__12_2_411_0/}
}

TY  - JOUR
AU  - Deshouillers, Jean-Marc
AU  - Hennecart, François
AU  - Landreau, Bernard
TI  - Waring's problem for sixteen biquadrates. Numerical results
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2000
SP  - 411
EP  - 422
VL  - 12
IS  - 2
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://www.numdam.org/item/JTNB_2000__12_2_411_0/
LA  - en
ID  - JTNB_2000__12_2_411_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Deshouillers, Jean-Marc
%A Hennecart, François
%A Landreau, Bernard
%T Waring's problem for sixteen biquadrates. Numerical results
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2000
%P 411-422
%V 12
%N 2
%I Université Bordeaux I
%U https://www.numdam.org/item/JTNB_2000__12_2_411_0/
%G en
%F JTNB_2000__12_2_411_0

Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard. Waring's problem for sixteen biquadrates. Numerical results. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 411-422. https://www.numdam.org/item/JTNB_2000__12_2_411_0/

Bibliographie
Cité par

[1] H. Davenport, On Waring's problem for fourth powers. Ann. of Math. 40 (1939), 731-747. | JFM | MR | Zbl

[2] L.E. Dickson, Recent progress on Waring's theorem and its generalizations. Bull. Amer. Math. Soc. 39 (1933), 701-727. | JFM | Zbl

[3] J-M. Deshouillers, Problème de Waring pour les bicarrés : le point en 1984. Sém. Théor. Analyt. Nbres Paris, 1984-85, exp. 33. | Numdam | MR | Zbl

[4] J-M. Deshouillers, F. Dress, Numerical results for sums of five and seven biquadrates and consequences for sums of 19 biquadrates. Math. Comp. 61, 203 (1993), 195-207. | MR | Zbl

[5] J-M. Deshouillers, F. Hennecart, B. Landreau, 7 373 170 279 850. Math. Comp. 69 (2000), 421-439. | MR | Zbl

[6] A. Kempner, Bemerkungen zum Waringschen Problem. Math. Ann. 72 (1912), 387-399. | JFM | MR

[7] H.E. Thomas, A numerical approach to Waring's problem for fourth powers. Ph.D., The University of Michigan, 1973.

[8] H.E. Thomas, Waring's problem for twenty-two biquadrates. Trans. Amer. Math. Soc. 193 (1974), 427-430. | MR | Zbl