À propos du théorème de Belyi
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 8 (1996) no. 1, pp. 93-99.

Le théorème de Belyi affirme que sur toute courbe algébrique C lisse projective et géométriquement connexe, définie sur ℚ¯, il existe une fonction f non ramifiée en dehors de 0,1,∞. Nous montrons que cette fonction peut être choisie sans automorphismes, c’est-à-dire telle que pour tout automorphisme non trivial a de C, on ait f∘𝔞≠f. Nous en déduisons que si 𝕂⊂ℂ est une extension finie de ℚ, toute 𝕂-classe d’isomorphisme de courbes algébriques lisses projectives géométriquement connexes peut être caractérisée par un dessin d’enfant de Grothendieck, c’est à dire par une classe d’isomorphisme topologique de revêtements de la sphère privée de trois points. Nous en donnons quelques exemples.

A famous theorem of Belyi asserts that on any smooth projective geometrically connected algebraic curve C defined over ℚ¯ there exists a function f unramified outside 0,1,∞. We show that this function can be choosen without non trivial automorphism. As a consequence, for 𝕂⊂ℂ a finite extension of ℚ, any 𝕂-isomorphism class of smooth projective geometrically connected algebraic curves can be characterized by a dessin d’enfant de Grothendieck, i.e. an isomorphism class of finite connected topological coverings of the sphere minus three points. We give a few examples of this situation.

Classification : 11R32, 11Y40
Mots-clés : corps globaux, revêtements 
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