Extension of Estermann's theorem to Euler products associated to a multivariate polynomial
[Extension du théorème d'Estermann aux produits eulériens associés à un polynôme de plusieurs variables]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 2, pp. 225-265.

Etant donné un polynôme de plusieurs variables hX1,⋯,Xn à coefficients entiers vérifiant une hypothèse de régularité analytique (et vérifiant h(0)=1), on détermine le domaine maximal de méromorphie du produit eulérien ∏ppremierhp-s1,⋯,p-sn et la frontière naturelle de méromorphie est décrite précisément lorsqu’elle existe. De cette façon on généralise un résultat célèbre de 1928 concernant les polynômes d’une variable due à Estermann. En guise d’application, on détermine la frontière naturelle de produits eulériens de plusieurs variables associés à une famille de variétés toriques.

Given a multivariate polynomial hX1,⋯,Xn with integral coefficients verifying an hypothesis of analytic regularity (and satisfying h(0)=1), we determine the maximal domain of meromorphy of the Euler product ∏pprimehp-s1,⋯,p-sn and the natural boundary is precisely described when it exists. In this way we extend a well known result for one variable polynomials due to Estermann from 1928. As an application, we calculate the natural boundary of the multivariate Euler products associated to a family of toric varieties.

DOI : 10.24033/bsmf.2647
Classification : 11M32, 11M41, 32D15, 11N99, 14G05
Keywords: multivariables Euler products, meromorphic continuation, natural boundary, cyclotomic polynomial, rational point on a toric variety
Mot clés : produits eulériens de plusieurs variables, prolongement méromorphe, frontière naturelle, polynôme cyclotomique, point rationnel sur une variété torique 
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Delabarre, Ludovic. Extension of Estermann's theorem to Euler products associated to a multivariate polynomial. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 2, pp. 225-265. doi : 10.24033/bsmf.2647. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2647/

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Cité par Sources :