$\mathcal {D}$-modules arithmétiques associés aux isocristaux surconvergents. Cas lisse

Caro, Daniel

doi:10.24033/bsmf.2581

𝒟

-modules arithmétiques associés aux isocristaux surconvergents. Cas lisse

Caro, Daniel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 4, pp. 453-543.

Résumé
Abstract

Soient $𝒱$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques, $𝒫$ un $𝒱$ -schéma formel séparé et lisse, $P$ sa fibre spéciale, $X$ un sous-schéma fermé de $P$ , $T$ un diviseur de $P$ tel que $T_{X} = T \cap X$ soit un diviseur de $X$ et $𝒟_{𝒫}^{†} {(^{†} T)}_{ℚ}$ le complété faible du faisceau des opérateurs différentiels sur $𝒫$ à singularités surconvergentes le long de $T$ tensorisé par $ℚ$ . Nous construisons un foncteur pleinement fidèle, noté ${sp}_{X ↪ 𝒫, T, +}$ , de la catégorie des isocristaux sur $X ∖ T_{X}$ surconvergents le long de $T_{X}$ dans celle des $𝒟_{𝒫}^{†} {(^{†} T)}_{ℚ}$ -modules cohérents à support dans $X$ . Puis, nous prouvons la commutation de ${sp}_{X ↪ 𝒫, T, +}$ aux images inverses (extraordinaires) et aux foncteurs duaux. Ces propriétés sont compatibles à Frobenius.

Let $𝒱$ be a mixed characteristic complete discrete valuation ring, $𝒫$ a separated smooth formal scheme over $𝒱$ , $P$ its special fiber, $X$ a smooth closed subscheme of $P$ , $T$ a divisor in $P$ such that $T_{X} = T \cap X$ is a divisor in $X$ and $𝒟_{𝒫}^{†} {(^{†} T)}_{ℚ}$ the tensorized with $ℚ$ weak completion of the sheaf of differential operators on $𝒫$ with overconvergent singularities along $T$ . We construct a fully faithful functor denoted by ${sp}_{X ↪ 𝒫, T, +}$ from the category of isocrystal on $X ∖ T_{X}$ overconvergent along $T_{X}$ into the category of coherent $𝒟_{𝒫}^{†} {(^{†} T)}_{ℚ}$ -modules with support in $X$ . Next, we prove the commutation of ${sp}_{X ↪ 𝒫, T, +}$ with (extraordinary) inverse images and dual functors. These properties are compatible with Frobenius.

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DOI : 10.24033/bsmf.2581

Classification : 14F10, 14F30
Mot clés :

D

-modules arithmétiques, Frobenius, foncteur dual, image directe
Keywords: arithmetical

D

-modules, Frobenius, dual functor, direct image

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Caro, Daniel. $\mathcal {D}$-modules arithmétiques associés aux isocristaux surconvergents. Cas lisse. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 4, pp. 453-543. doi : 10.24033/bsmf.2581. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2581/

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