Steinness of bundles with fiber a Reinhardt bounded domain

Oeljeklaus, Karl; Zaffran, Dan

doi:10.24033/bsmf.2518

Steinness of bundles with fiber a Reinhardt bounded domain
[Fibrés de Stein à fibre un domaine de Reinhardt borné]

Oeljeklaus, Karl ; Zaffran, Dan

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 4, pp. 451-473.

Résumé
Abstract

Soit $E$ un fibré holomorphe à fibre $D$ et base $B$ . On suppose que $D$ et $B$ sont de Stein. Si $D$ est un domaine de Reinhardt borné de dimension $2$ ou $3$ , on donne une condition nécessaire et suffisante sur $D$ pour l’existence d’un tel fibré $E$ qui ne soit pas Stein (Théorème $1$ ) ; pour $d = 2$ on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que $E$ soit de Stein (Théorème 2). Si $D$ est un domaine de Reinhardt de dimension quelconque qui n’intersecte pas les hyperplans de coordonnées, on donne un critère suffisant pour que $E$ soit de Stein.

Let $E$ denote a holomorphic bundle with fiber $D$ and with basis $B$ . Both $D$ and $B$ are assumed to be Stein. For $D$ a Reinhardt bounded domain of dimension $d = 2$ or $3$ , we give a necessary and sufficient condition on $D$ for the existence of a non-Stein such $E$ (Theorem $1$ ); for $d = 2$ , we give necessary and sufficient criteria for $E$ to be Stein (Theorem $2$ ). For $D$ a Reinhardt bounded domain of any dimension not intersecting any coordinate hyperplane, we give a sufficient criterion for $E$ to be Stein (Theorem $3$ ).

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2518

Classification : 32E10, 32A07, 32L05
Keywords: holomorphic fiber bundle, Stein manifold, bounded Reinhardt domain, Serre problem
Mot clés : fibré holomorphe, variété de Stein, domaine de Reinhardt borné, problème de Serre

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TY  - JOUR
AU  - Oeljeklaus, Karl
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TI  - Steinness of bundles with fiber a Reinhardt bounded domain
JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2006
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Oeljeklaus, Karl; Zaffran, Dan. Steinness of bundles with fiber a Reinhardt bounded domain. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 4, pp. 451-473. doi : 10.24033/bsmf.2518. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2518/

Bibliographie
Cité par

[1] G. Cœuré & J.-J. Lœb - « A counterexample to the Serre problem with a bounded domain of $ℂ^{2}$ as fiber », Ann. of Math. 122 (1985), p. 329-334. | MR | Zbl

[2] K. Diederich & J. Fornaess - « Pseudoconvex domains: bounded strictly plurisubharmonic exhaustion functions », Invent. Math. 39 (1977), p. 129-141. | MR | Zbl

[3] P. Heinzner - « Kompakte Transformationsgruppen Steinscher Räume (Compact transformation groups of Stein spaces) », Math. Ann. 285 (1989), p. 13-28. | MR | Zbl

[4] Y. Hellegouarch - Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, Academic Press, Inc., San Diego, CA, 2002. | MR | Zbl

[5] A. Hirschowitz - « Domaines de Stein et fonctions holomorphes bornées », Math. Ann. 213 (1975), p. 185-193. | MR | Zbl

[6] W. Kaup - « Reelle Transformationsgruppen und invariante Metriken auf komplexen Räume », Invent. Math. 3 (1967), p. 43-70. | MR | Zbl

[7] N. Mok - « Le problème de Serre pour les surfaces de Riemann », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 290 (1980), p. A179-A180. | MR | Zbl

[8] R. Narasimhan - Several complex variables, Chicago Lectures in Math., University of Chicago Press, Chicago, IL, 1995. | MR | Zbl

[9] P. Pflug & W. Zwonek - « The Serre problem with Reinhardt fibers », Ann. Inst. Fourier 54 (2004), p. 129-146. | Numdam | MR | Zbl

[10] J.-P. Serre - « Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein », Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 1953, p. 57-68. | MR | Zbl

[11] S. Shimizu - « Automorphisms of bounded Reinhardt domains », Japan. J. Math. (N.S.) 15 (1989), p. 385-414. | MR | Zbl

[12] N. Sibony - « Fibrés holomorphes et métrique de Carathéodory », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279 (1974), p. 261-264. | MR | Zbl

[13] Y. T. Siu - « All plane domains are Banach-Stein », Manuscripta Math. 14 (1974), p. 101-105. | MR | Zbl

[14] -, « Holomorphic fiber bundles whose fibers are bounded Stein domains with zero first Betti number », Math. Ann. 219 (1976), p. 171-192. | MR | Zbl

[15] -, « Pseudoconvexity and the problem of Levi », Bull. Amer. Math. Soc. 84 (1978), p. 481-512. | MR | Zbl

[16] H. Skoda - « Fibrés holomorphes à base et à fibre de Stein », Invent. Math. 43 (1977), p. 97-107. | MR | Zbl

[17] J.-L. Stehlé - « Fonctions plurisousharmoniques et convexité holomorphe de certains fibrés analytiques », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279 (1974), p. 235-238. | MR | Zbl

[18] K. Stein - « Überlagerungen holomorph-vollständiger komplexer Räume », Arch. Math. 7 (1956), p. 354-361. | MR | Zbl

[19] R. Steinberg - Conjugacy classes in algebraic groups, Lecture Notes in Math., vol. 366, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974, notes by V.V.Deodhar. | MR | Zbl

[20] D. Zaffran - « Serre problem and Inoue-Hirzebruch surfaces », Math. Ann. 319 (2001), p. 395-420. | MR | Zbl

[21] W. Zwonek - « On hyperbolicity of pseudoconvex Reinhardt domains », Arch. Math. (Basel) 72 (1999), p. 304-314. | MR | Zbl

Cité par Sources :