Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux

Ressayre, Nicolas

doi:10.24033/bsmf.2473

Ressayre, Nicolas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004) no. 4, pp. 543-567.

Résumé
Abstract

Soient $G$ un groupe algébrique complexe réductif et connexe, $B$ un sous-groupe de Borel de $G$ et $H$ un sous-groupe sphérique de $G$ . Soit $X$ un plongement $G \times G$ -équivariant de $G$ . Nous savons que $B \times H$ n’a qu’un nombre fini d’orbites dans $G$ ; nous montrons qu’il n’en a qu’un nombre fini dans $X$ . Soit $\bar{V}$ l’adhérence dans $X$ d’une orbite de $B \times H$ dans $G$ et $\bar{𝒪}$ l’adhérence d’une orbite de $G \times G$ dans $X$ . Si $X$ est toroïdal, nous montrons que l’intersection $\bar{V} \cap \bar{𝒪}$ est propre dans $X$ et la décrivons ensemblistement. Si de plus $X$ est lisse, nous calculons les multiplicités d’intersections qui sont des puissances de $2$ . Enfin, si $X$ est toroïdal, lisse et complet, nous exprimons la classe de cohomologie de $\bar{V}$ comme une combination linéaire des classes d’adhérence dans $X$ d’orbites de $B \times B$ dans $G$ . Nous utilisons la cohomologie $B$ -équivariante pour obtenir ce dernier résultat. Soit $Y$ un plongement lisse $G$ -équivariant et toroïdal de $G / H$ et $\bar{𝒪}$ l’adhérence d’une orbite de $G$ dans $Y$ . Soit $\bar{V}$ l’adhérence dans $Y$ d’une orbite de $B$ dans $G / H$ . Dans [4], après la proposition6, M.Brion demande si chaque composante irréductible de $\bar{V} \cap \bar{𝒪}$ contient des points lisses de $\bar{V}$ : nous répondons négativement à cette question dans la dernière partie.

Let $G$ be a complex reductive algebraic group, $B$ be a Borel subgroup of $G$ and $H$ be a spherical subgroup of $G$ . Let $X$ be a $G \times G$ -equivariant embedding of $G$ . We know that $B \times H$ have finitely many orbits in $G$ ; we show that it has finitely many ones in $X$ . Let $\bar{V}$ be the closure in $X$ of a $(B \times H)$ -orbit in $G$ , and $\bar{𝒪}$ be the closure of a $(G \times G)$ -orbit in $X$ . If $X$ is toroïdal, we show that the intersection $\bar{V} \cap \bar{𝒪}$ is proper in $X$ and we describe this intersection. If in addition $X$ is smooth, we determine the intersection multiplicities of $\bar{V} \cap \bar{𝒪}$ , which are powers of $2$ . If $X$ is toroïdal, smooth and complete, we write the class of cohomology of $\bar{V}$ as a linear combinaison of the classes of the closures in $X$ of the $(B \times B)$ -orbits in $G$ . The proof of this last statement uses $B$ -equivariant cohomology. Let $Y$ be a smooth $G$ -equivariant embedding of $G / H$ and $\bar{𝒪}$ be the closure of a $G$ -orbit in $Y$ . Let $\bar{V}$ be the closure in $Y$ of a $B$ -orbit in $G / H$ . In [4], just after Proposition6, M.Brion asks if each irreducible component of $\bar{V} \cap \bar{𝒪}$ intersects the set of the smooth points in $\bar{V}$ : we give an example which answers ‘no’ to this question.

EuDML MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2473

Classification : 14M15, 14M17, 14C17, 55N91
Mot clés : plongement de groupes, variétés sphériques, adhérences d'orbites, variété des drapeaux, cohomologie équivariante
Keywords: group embeddings, spherical variety, orbit closures, flag varieties, equivariant cohomology

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Ressayre, Nicolas. Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004) no. 4, pp. 543-567. doi : 10.24033/bsmf.2473. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2473/

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