Sur certains pseudogroupes de biholomorphismes locaux de $(\mathbb {C}^n,0)$

Belliart, Michel

doi:10.24033/bsmf.2397

Sur certains pseudogroupes de biholomorphismes locaux de

(ℂ^{n}, 0)

Belliart, Michel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 2, pp. 259-284.

Résumé
Abstract

On montre que si $Γ$ est un pseudogroupe de transformations locales holomorphes de $ℂ^{n}$ en zéro contenant deux éléments “en position générale” et proches de l’identité, alors : 1) L’action de $Γ$ sur le fibré des jets d’ordre infini sur un petit voisinage épointé $ℬ$ de $0$ est minimale (c’est-à-dire que si $z_{0}, z_{1} \in ℬ$ et si $φ : z_{0} \to z_{1}$ est un germe de biholomorphisme alors il existe une suite $γ_{n} \in Γ$ qui converge vers $φ$ uniformément au voisinage de $z_{0}$ ). 2) $Γ$ ne préserve aucune structure géométrique au voisinage de $0$ (c’est une conséquence triviale du point 1). 3) Si un autre pseudogroupe holomorphe est topologiquement conjugué à $Γ$ alors la conjugaison est ou bien holomorphe, ou bien antiholomorphe. L’ingrédient principal de la preuve est la construction, pour tout pseudogroupe $Γ$ , d’un faisceau $𝔤_{Γ}$ d’algèbres de Lie sur $ℂ^{n}$ dans lequel $Γ$ est “dense” en un sens naturel. Ensuite, on prouve que si $Γ$ satisfait une hypothèse naturelle alors $𝔤_{Γ} (U)$ contient tout champ de vecteur holomorphe sur $U$ , pour tout $U$ ouvert dans $ℬ$ où $ℬ$ est le complémentaire (ouvert) de $0$ dans son bassin d’attraction.

Let $Γ$ be a pseudogroup of local holomorphic transformations of $ℂ^{n}$ fixing zero. We study the dynamics of $Γ$ . We show that if $Γ$ contains two elements whose 2-jets are in “general position” and sufficiently near the identity, then: 1) $Γ$ acts minimally on the bundle of infinite-order jets on some pointed neighborhood $ℬ$ of $0$ (that is to say: for any $z_{0}, z_{1} \in ℬ$ and any germ $φ : z_{0} \to z_{1}$ of biholomorphism, there exists a sequence $γ_{n} \in Γ$ which converges to $φ$ uniformly on some neighborhood of $z_{0}$ ). 2) $Γ$ preserves no geometric structure near $0$ (this is a trivial consequence of 1). 3) For any holomorphic pseudogroup topologically conjugate to $Γ$ , the germ of conjugacy at $0$ is either holomorphic or antiholomorphic. The main feature of the proof is to attach to any pseudogroup $Γ$ a sheaf $𝔤_{Γ}$ of Lie algebrae on $ℂ^{n}$ such that $Γ$ is “dense” in $𝔤_{Γ}$ in a natural sense. Then we prove that under some natural assumption on $Γ$ , $𝔤_{Γ} (U)$ must be the sheaf of all holomorphic vector fields for any $U$ open in $ℬ$ , where $ℬ$ is the (open) complementary of $0$ in its basin of attraction.

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2397

Classification : 58H05, 58H15
Mot clés : pseudogroupes conformes, structure géométrique invariante
Keywords: conformal pseudo-groups, invariant geometric structure

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Belliart, Michel. Sur certains pseudogroupes de biholomorphismes locaux de $(\mathbb {C}^n,0)$. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 2, pp. 259-284. doi : 10.24033/bsmf.2397. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2397/

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