Maximal brownian motions
Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009) no. 3, pp. 876-886.

Soient Z=(X, Y) un mouvement brownien plan de filtration naturelle 𝒵, et B un mouvement brownien linéaire de la filtration 𝒵. On dit que B est maximal, et que la filtration naturelle de B est maximale, lorsqu’aucun autre mouvement brownien linéaire de 𝒵 n’engendre une filtration strictement plus grosse que celle de B. Il est par exemple établi dans [In Séminaire de Probabilités XLI 265-278 (2008) Springer] que B est maximal dès qu’il existe dans 𝒵 un mouvement brownien linéaire C indépendant de B et tel que le mouvement brownien plan (B, C) engendre toute la filtration 𝒵; nous ne savons pas si cette condition suffisante de maximalité est aussi nécessaire. Nous donnons une conditions nécessaire de maximalité, ainsi qu’une condition suffisante peut-être plus faible que l’existence d’un tel C. À l'aide de cette condition suffisante, nous démontrons que le mouvement brownien linéaire ∫(X dY-Y dX)/|Z|, qui régit la partie angulaire de Z, est maximal.

Let Z=(X, Y) be a planar brownian motion, 𝒵 the filtration it generates, and B a linear brownian motion in the filtration 𝒵. One says that B (or its filtration) is maximal if no other linear 𝒵-brownian motion has a filtration strictly bigger than that of B. For instance, it is shown in [In Séminaire de Probabilités XLI 265-278 (2008) Springer] that B is maximal if there exists a linear brownian motion C independent of B and such that the planar brownian motion (B, C) generates the same filtration 𝒵 as Z. We do not know if this sufficient condition for maximality is also necessary. We give a necessary condition for B to be maximal, and a sufficient condition which may be weaker than the existence of such a C. This sufficient condition is used to prove that the linear brownian motion ∫(X dY-Y dX)/|Z|, which governs the angular part of Z, is maximal.

DOI : 10.1214/08-AIHP194
Classification : 60J65, 60G07, 60G44
Mots-clés : brownian filtration, maximal brownian motion, exchange property 
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Cité par Sources :