Extensions de valuation  et polygone de Newton

Vaquié, Michel

doi:10.5802/aif.2421

Extensions de valuation et polygone de Newton

Vaquié, Michel ¹

¹ Université Paul Sabatier, Bât. 1R2 Institut de Mathématiques de Toulouse UMR CNRS 5219 31062 Toulouse Cedex 9 (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 7, pp. 2503-2541.

Résumé
Abstract

Soient $(K, ν)$ un corps valué et $L$ est une extension monogène finie de $K$ définie par $L = K [x] / (P)$ , alors toute valuation de $L$ qui prolonge $ν$ définit une pseudo-valuation $ζ$ de $K [x]$ de noyau l’idéal $(P)$ . Nous savons associer à $ζ$ une famille de valuations de $K [x]$ , appelée famille admissible, construite de façon explicite à partir de valuations augmentées et de valuations augmentées limites.

Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’une valuation $μ$ de $K [x]$ appartienne à la famille admissible associée à une pseudo-valuation $ζ$ correspondant à une valuation de $L$ , condition ne faisant pas intervenir $ζ$ mais uniquement le polynôme $P$ . Nous pouvons ainsi déterminer toutes les valuations de $L$ qui prolongent la valuation $ν$ de $K$ . Pour cela nous définissons le polygone de Newton associé à $P$ , à un polynôme $φ$ et à une valuation $μ$ , à partir du développement de $P$ selon les puissances de $φ$ .

Let $(K, ν)$ be a valued field and $L$ a finite cyclic extension of $K$ defined by $L = K [x] / (P)$ , then any valuation of $L$ which extends $ν$ defines a pseudo-valuation $ζ$ on $K [x]$ whose kernel is the principal ideal $(P)$ . We know how to associate to $ζ$ a family of valuations on $K [x]$ , called an admissible family, which is explicitely constructed by augmented valuations and limit augmented valuations.

We give a necessary and sufficient condition for a valuation of $K [x]$ to belong to an admissible family associated to a pseudo-valuation $ζ$ which corresponds to a valuation of $L$ , this condition depends only on the polynomial $P$ . On the way we can determine all the valuations of $L$ which extend the valuation $ν$ of $K$ . To give this condition we define the Newton polygon associated to $P$ , to a polynomial $φ$ and to a valuation $μ$ of $K [x]$ .

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DOI : 10.5802/aif.2421

Classification : 13A18, 12J10, 14E15
Mot clés : valuation, extension, polygone de Newton
Keywords: Valuation, extension, Newton polygon

Affiliations des auteurs :

Vaquié, Michel ¹

¹ Université Paul Sabatier, Bât. 1R2 Institut de Mathématiques de Toulouse UMR CNRS 5219 31062 Toulouse Cedex 9 (France)

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Vaquié, Michel. Extensions de valuation  et polygone de Newton. Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 7, pp. 2503-2541. doi : 10.5802/aif.2421. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2421/

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