Vecteurs distributions $H$-invariants de représentations induites, pour un espace symétrique réductif $p$-adique $G/H$.

Blanc, Philippe; Delorme, Patrick

doi:10.5802/aif.2349

Vecteurs distributions

H

-invariants de représentations induites, pour un espace symétrique réductif

p

-adique

G / H

Blanc, Philippe ¹ ; Delorme, Patrick

¹ Université de la Méditerranée Institut de Mathématiques de Luminy UMR 6206 CNRS 163 Avenue de Luminy Case 907 13288 Marseille Cedex 09 (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 1, pp. 213-261.

Résumé
Abstract

Soit $G$ le groupe des points sur $𝔽$ d’un groupe réductif linéaire défini sur $𝔽$ , un corps local non archimédien de caractéristique $0$ . Soit $σ$ une involution rationnelle de ce groupe algébrique définie sur $𝔽$ et soit $H$ le groupe des points sur $𝔽$ d’un sous-groupe ouvert, défini sur $𝔽$ , du groupe des points fixes de $σ$ . Nous construisons des familles de vecteurs $H$ -invariants dans le dual de séries principales généralisées, en utilisant l’homologie des groupes. Des résultats de A.G.Helminck, S.P.Wang et A.G.Helminck, G.F.Helminck sur la structure des espaces symétriques réductifs $p$ -adiques sont aussi essentiels.

Let $G$ be the group of $𝔽$ -points of a linear reductive group defined over $𝔽$ , a non archimedean local field of characteristic zero. Let $σ$ be a rational involution of this group defined over $𝔽$ and let $H$ be the group of $𝔽$ -points of an open subgroup, defined over $𝔽$ , of the group of fixed points by $σ$ . We built rational families of $H$ -fixed vectors in the dual of generalized principal series, using homology of groups. Results of A.G.Helminck, S.P.Wang and A.G.Helminck, G.F.Helminck on the structure of $p$ -adic reductive symmetric spaces are also essential.

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DOI : 10.5802/aif.2349

Classification : 22E35
Mot clés : symmetric spaces, reductive p-adic groups, distribution vectors, induced representations
Keywords: espaces symétriques, groupes réductifs

p

-adiques, vecteurs distributions, représentations induites

Affiliations des auteurs :

Blanc, Philippe ¹ ; Delorme, Patrick

¹ Université de la Méditerranée Institut de Mathématiques de Luminy UMR 6206 CNRS 163 Avenue de Luminy Case 907 13288 Marseille Cedex 09 (France)

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Blanc, Philippe; Delorme, Patrick. Vecteurs distributions $H$-invariants de représentations induites, pour un espace symétrique réductif $p$-adique $G/H$.. Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 1, pp. 213-261. doi : 10.5802/aif.2349. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2349/

Bibliographie
Cité par

[1] Bernstein, I. N.; Zelevinsky, A. V. Induced representations of reductive $𝔭$ -adic groups. I, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure (1977), pp. 441-472 (Sér. 4, 10) | Numdam | Zbl

[2] Blanc, P. Projectifs dans la catégorie des G-modules topologiques, C.R.Acad.Sc.Paris (1979), pp. 161-163 (t.289) | MR | Zbl

[3] Blanc, P.; Brylinski, J-L Cyclic homology and the Selberg principle, J. Funct. Anal. (1992), pp. 289-330 (109) | DOI | MR | Zbl

[4] Borel, A.; Tits, J. Groupes réductifs, Publications Mathématiques de l’IHES (1965), pp. 55-151 (27) | DOI | Numdam | Zbl

[5] Borel, A.; Wallach, N. Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups, Mathematical Surveys and Monographs, 67, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000 (Second edition) | MR | Zbl

[6] Brylinski, J.L.; Delorme, P. Vecteurs distributions $H$ -invariants pour les séries principales généralisées d’espaces symétriques réductifs et prolongement méromorphe d’intégrales d’Eisenstein, Invent. Math. (1992), pp. 619-664 (109) | DOI | Zbl

[7] Carmona, J.; Delorme, P. Base méromorphe de vecteurs distributions $H$ -invariants pour les séries principales généralisées d’espaces symétriques réductifs : équation fonctionnelle, J. Funct. Anal. (1994), pp. 152-221 (122) | DOI | Zbl

[8] Cartan, H.; Eilenberg, S. Homological algebra, Princeton Univ. Press, 1956 | MR | Zbl

[9] Casselman, W. A new nonunitarity argument for $p$ -adic representations, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo (1982), pp. 907-928 (28) | MR | Zbl

[10] Delorme, P. Harmonic analysis on real reductive symmetric spaces, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Volume II (2002), pp. 545-554 (Higher Ed. Press, Beijing) | MR | Zbl

[11] Guichardet, A. Cohomologie des groupes topologiques et des algèbres de Lie, CEDIC, Paris, 1980 | MR | Zbl

[12] Helminck, A. G.; Helminck, G. F. A class of parabolic $k$ -subgroups associated with symmetric $k$ -varieties, Trans. Amer. Math. Soc. (1998), pp. 4669-4691 (350) | DOI | Zbl

[13] Helminck, A. G.; Wang, S. P. On rationality properties of involutions of reductive groups, Adv. Math. (1993), pp. 26-96 (99) | DOI | MR | Zbl

[14] Hironaka, Y. Spherical functions and local densities on Hermitian forms, J. Math Soc. Japan (1999), pp. 553-581 (51) | DOI | MR | Zbl

[15] Hironaka, Y.; Sato, F. Spherical functions and local densities of alternating forms, Am. J. Math. (1988), pp. 473-512 (110) | DOI | MR | Zbl

[16] Humphreys, J.E. Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, No. 21, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975 | MR | Zbl

[17] Humphreys, J.E. Introduction to Lie algebras and representation theory, Graduate Texts in Mathematics, 9, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978 (Second printing, revised) | MR | Zbl

[18] Michael, E. Selected selection theorems, Amer. Math. Monthly (1956), pp. 223-238 (63) | MR | Zbl

[19] Offen, O. Relative spherical functions on $℘$ -adic symmetric spaces (three cases), Pacific J. Math. (2004) no. 1, pp. 97-149 (215) | DOI | MR | Zbl

[20] Offen, O.; Sayag, E. On unitary distinguished representations of $G L_{2 n}$ distinguished by the symplectic group (preprint)

[21] Olafsson, G. Fourier and Poisson transformation associated to a semisimple symmetric space, Invent. Math. (1987), pp. 605-629 (90) | DOI | MR | Zbl

[22] Richardson, R.W. Orbits, invariants and representations associated to involutions of reductive groups, Invent. Math. (1982), pp. 287-312 (66) | DOI | MR | Zbl

[23] Waldspurger, J.-L. La formule de Plancherel pour les groupes $p$ -adiques (d’après Harish-Chandra), J. Inst. Math. Jussieu (2003), pp. 235-333 (2) | DOI | Zbl

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