Représentations cristallines dans le cas d’un corps résiduel imparfait

Brinon, Olivier

doi:10.5802/aif.2205

Représentations cristallines dans le cas d’un corps résiduel imparfait

Brinon, Olivier ¹

¹ Université Paris 13 Institut Galilée Département de Mathématiques 99, avenue Jean-Baptiste Clément 93430 Villetaneuse (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 919-999.

Résumé
Abstract

Soit $K$ un corps de valuation discrète complet de caractéristique $0$ , dont le corps résiduel $k_{K}$ est de caractéristique $p$ . On suppose que $k_{K}$ admet une $p$ -base finie. Soient $\bar{K}$ une clôture algébrique de $K$ et $G_{K} = Gal (\bar{K} / K)$ . On construit et étudie des anneaux de périodes $p$ -adiques $B_{cris} \subset B_{dR}$ qui généralisent ceux définis par J.-M. Fontaine dans le cas où le corps résiduel $k_{K}$ est parfait. Ces anneaux sont munis des structures supplémentaires habituelles ainsi que d’une connexion. Ils permettent d’étendre les notions de représentation $p$ -adique cristalline et de représentation $p$ -adique de Rham de $G_{K}$ au cas où $k_{K}$ n’est pas parfait. Le résultat principal de ce travail est le fait que la catégorie des représentations $p$ -adiques cristallines de $G_{K}$ est équivalente à la catégorie des $F$ -isocristaux filtrés sur $K$ faiblement admissibles, ce qui généralise un théorème de P.Colmez et J.-M.Fontaine.

Let $K$ be a complete discrete valuation field of characteristic $0$ , with residue field $k_{K}$ of characteristic $p$ . We assume that $k_{K}$ admits a finite $p$ -basis. Let $\bar{K}$ be an algebraic closure of $K$ and $G_{K} = Gal (\bar{K} / K)$ . We construct and study $p$ -adic periods rings $B_{cris} \subset B_{dR}$ generalizing those defined by J.-M.Fontaine when $k_{K}$ is perfect. Those rings are endowed with the usual extra structures plus a connection. They allow to extend the notions of crystalline and de Rham $p$ -adic representations of $G_{K}$ to the case of non perfect $k_{K}$ . The main result of this work, generalizing a theorem of P.Colmez and J.-M.Fontaine, is the fact that the category of crystalline $p$ -adic representations of $G_{K}$ is equivalent to the category of weakly admissible $F$ -isocrystals filtered over $K$ .

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DOI : 10.5802/aif.2205

Classification : 11F80, 11F85, 11S15, 11S20, 11S25
Mot clés : Corps locaux, périodes

p

-adiques, représentations galoisiennes
Keywords: Local fields,

p

-adic periods, Galois representations

Affiliations des auteurs :

Brinon, Olivier ¹

¹ Université Paris 13 Institut Galilée Département de Mathématiques 99, avenue Jean-Baptiste Clément 93430 Villetaneuse (France)

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Brinon, Olivier. Représentations cristallines dans le cas d’un corps résiduel imparfait. Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 919-999. doi : 10.5802/aif.2205. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2205/

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