Quaternionic contact structures in dimension $7$

Duchemin, David

doi:10.5802/aif.2203

Quaternionic contact structures in dimension

7

[Structures de contact quaternioniennes en dimension

7

]

Duchemin, David ¹

¹ Université du Québec à Montréal Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie CP 8888 Succursale centre-ville Montréal (QC) H3C 3P8 (Canada)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 851-885.

Résumé
Abstract

L’infini conforme d’une métrique quaternion-kählérienne complète sur une variété de dimension $4 n$ est une distribution de contact quaternionienne de codimension $3$ . En dimension $4 n - 1 > 7$ , une telle structure de contact quaternionienne est toujours l’infini conforme d’une métrique quaternion-kählérienne. Cependant, nous décrivons dans cet article une condition nécessaire et suffisante pour qu’une telle distribution sur une variété de dimension $7$ soit l’infini conforme d’une métrique quaternion-kälérienne. Ceci nous permet de trouver les structures de contact quaternioniennes sur la sphère de dimension $7$ , proches de la structure standard et qui sont les infinis conformes de métriques quaternion-kählériennes complètes sur la boule de dimension $8$ . Nous construisons ensuite une famille à 25 paramètres de métriques quaternion-kählériennes Sp $(1)$ -invariantes et complètes sur la boule de dimension $8$ .

The conformal infinity of a quaternionic-Kähler metric on a $4 n$ -manifold with boundary is a codimension $3$ distribution on the boundary called quaternionic contact. In dimensions $4 n - 1$ greater than $7$ , a quaternionic contact structure is always the conformal infinity of a quaternionic-Kähler metric. On the contrary, in dimension $7$ , we prove a criterion for quaternionic contact structures to be the conformal infinity of a quaternionic-Kähler metric. This allows us to find the quaternionic-contact structures on the $7$ -sphere close to the conformal infinity of the quaternionic hyperbolic metric and which are the boundaries of complete quaternionic-Kähler metrics on the $8$ -ball. Finally, we construct a $25$ -parameter family of Sp $(1)$ -invariant complete quaternionic-Kähler metrics on the $8$ -ball together with the $25$ -parameter family of their boundaries.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.2203

Classification : 53C25, 53C26, 53C28, 53D10, 58A10, 58J10
Keywords: contact structures, quaternionic-kähler metrics, twistor spaces
Mot clés : géométrie différentielle, structures de contact, géométrie quaternion-kählérienne, twisteurs, complexes elliptiques

Affiliations des auteurs :

Duchemin, David ¹

¹ Université du Québec à Montréal Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie CP 8888 Succursale centre-ville Montréal (QC) H3C 3P8 (Canada)

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TY  - JOUR
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Duchemin, David. Quaternionic contact structures in dimension $7$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 851-885. doi : 10.5802/aif.2203. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2203/

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