Singularité et intégrabilité des fonctions plurisousharmoniques

Blel, Mongi; K. Mimouni, Saoud

doi:10.5802/aif.2100

Blel, Mongi ¹ ; K. Mimouni, Saoud

¹ Faculté des Sciences de Monastir, département de mathématiques, 5019 Monastir (TUNISIE)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 2, pp. 319-351.

Résumé
Abstract

On étudie les singularités et l’intégrabilité d’une classe de fonctions plurisousharmoniques sur une variété analytique $X$ de dimension $n \geq 1$ . Pour étudier ce problème, nous commençons par contrôler les nombres de Lelong de certains types de fonctions plurisousharmoniques $ϕ$ . Ensuite, nous étudions les singularités du transformé strict du courant $d d^{c} ϕ$ par un éclatement de $X$ au dessus d’un point. Nous répondons ainsi positivement au problème d’intégrabilité locale de $e^{- ϕ}$ , lorsque $\dim X = 2$ , et lorsque $ϕ$ est une fonction plurisousharmonique telle que $ϕ \in L_{loc}^{\infty} (X ∖ K)$ , avec $K$ compact de $X$ et lorsque $E_{c} (ϕ) = {x \in X; ν_{ϕ} (x) \geq c}$ est discret pour tout $c > 0$ , et $ν_{ϕ} (x) \leq 2$ pour tout $x$ de $X$ .

The goal of the present work is to study the singularities of a class of plurisubharmonic functions on complex manifolds $X$ of dimension $n \geq 1$ . In order to study this problem one starts by controlling the Lelong numbers of certain of plurisubharmonic functions $ϕ$ . Then we study the singularities of the strict transform of the current $d d^{c} ϕ$ by the blow-ups of $X$ at a point. Using this we positively answer the question of the local integrability of $e^{- ϕ}$ , when $\dim X = 2$ and $ϕ$ is a plurisubharmonic function with $ϕ \in L_{loc}^{\infty} (X ∖ K)$ , and $K$ is a compact of $X$ , and the situation where the sublevel sets $E_{c} (ϕ) = {x \in X; ν_{ϕ} (x) \geq c}$ is discrete for all $c > 0$ and $ν_{ϕ} (x) \leq 2$ for all $x \in X$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.2100

Classification : 32C25, 32C30
Mot clés : fonctions plurisousharmoniques, courants positifs, ensembles analytiques, exposant des singularités
Keywords: plurisubharmonic functions, positive currents, analytic sets, exponants of singularities

Affiliations des auteurs :

Blel, Mongi ¹ ; K. Mimouni, Saoud

¹ Faculté des Sciences de Monastir, département de mathématiques, 5019 Monastir (TUNISIE)

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Blel, Mongi; K. Mimouni, Saoud. Singularité et intégrabilité des fonctions plurisousharmoniques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 2, pp. 319-351. doi : 10.5802/aif.2100. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2100/

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