The Mumford-Tate group of 1-motives
[Le groupe de Mumford-Tate des 1-motifs]
Bertolin, Cristiana1
1 Université Louis Pasteur, UFR de Mathématiques et Informatique, 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg Cedex (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 4, pp. 1041-1059.

Dans cet article on étudie la structure et les dégénérescences du groupe de Mumford-Tate MT(M) d’un 1-motif M défini sur ℂ. Ce groupe est un ℚ-groupe algébrique qui agit sur la réalisation de Hodge de M et qui est muni d’une filtration croissante W•. On prouve que le radical unipotent de MT(M), qui est W-1(MT(M)), s’injecte dans un groupe de Heisenberg “généralisé”. Ensuite on explique comment se réduire à l’étude du groupe de Mumford-Tate d’une somme directe de 1-motifs dont le groupe des caractères du tore et dont le réseau sont de rang 1. Puis on classifie et on étudie les dégénérescences de MT(M), i.e. les phénomènes qui causent la chute de la dimension de MT(M).

In this paper we study the structure and the degeneracies of the Mumford-Tate group MT(M) of a 1-motive M defined over ℂ. This group is an algebraic ℚ- group acting on the Hodge realization of M and endowed with an increasing filtration W•. We prove that the unipotent radical of MT(M), which is W-1(MT(M)), injects into a “generalized” Heisenberg group. We then explain how to reduce to the study of the Mumford-Tate group of a direct sum of 1-motives whose torus’character group and whose lattice are both of rank 1. Next we classify and we study the degeneracies of MT(M), i.e., those phenomena which imply the decrement of the dimension of MT(M).

DOI : 10.5802/aif.1910
Classification : 14L17, 11G99
Keywords: 1-motives, Mumford-Tate group, degeneracies, Poincaré biextension
Mot clés : 1-motifs, groupe de Mumford-Tate, dégénérescences, biextension de Poincaré
Bertolin, Cristiana 1

1 Université Louis Pasteur, UFR de Mathématiques et Informatique, 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg Cedex (France) 
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Bertolin, Cristiana. The Mumford-Tate group of 1-motives. Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 4, pp. 1041-1059. doi : 10.5802/aif.1910. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1910/

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