Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold

Brylinski, Ranee

doi:10.5802/aif.1905

Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold
[Quantification par déformation équivariante pour le fibré cotangent d'une variété de drapeaux]

Brylinski, Ranee ¹

¹ 22 Overlook Drive, PO Box 1089, Truro MA 02666-1089 (USA)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 3, pp. 881-897.

Résumé
Abstract

Soit $X$ une variété de drapeaux (généralisés) pour un groupe de Lie semisimple complexe $G$ . Nous étudions la construction d’un star produit $☆$ gradué sur $ℛ = R (T^{☆} X)$ qui correspond à une quantification $G$ -équivariante des symboles vers les opérateurs différentiels tordus agissant sur les demi-formes sur $X$ . Lorsque $ℛ$ est engendrée par les fonctions moment $μ^{x}$ pour $G$ , nous construisons de tels star produits $☆$ , où $μ^{x} ☆ φ$ est de la forme $μ^{x} φ + \frac{1}{2} {μ^{x}, φ} t + Λ^{x} (φ) t^{2}$ . Les $Λ^{x}$ sont ici des opérateurs sur $ℛ$ . Dans les exemples connus, $Λ^{x}$ ( $x \neq 0$ ) n’est pas un opérateur différentiel, et le star produit $μ^{x} ☆ φ$ n’est donc pas local en $φ$ . Alors $ℛ$ est munie d’une forme hermitienne invariante définie positive et compatible avec sa graduation. L’espace complété de $ℛ$ est un nouveau modèle de type Fock de la représentation unitaire de $G$ sur les demi-densités $L^{2}$ sur $X$ .

Let $X$ be a (generalized) flag manifold of a complex semisimple Lie group $G$ . We investigate the problem of constructing a graded star product on $ℛ = R (T^{☆} X)$ which corresponds to a $G$ -equivariant quantization of symbols into twisted differential operators acting on half-forms on $X$ . We construct, when $ℛ$ is generated by the momentum functions $μ^{x}$ for $G$ , a preferred choice of $☆$ where $μ^{x} ☆ φ$ has the form $μ^{x} φ + \frac{1}{2} {μ^{x}, φ} t + Λ^{x} (φ) t^{2}$ . Here $Λ^{x}$ are operators on $ℛ$ . In the known examples, $Λ^{x}$ ( $x \neq 0$ ) is not a differential operator, and so the star product $μ^{x} ☆ φ$ is not local in $φ$ . $ℛ$ acquires an invariant positive definite inner product compatible with its grading. The completion of $ℛ$ is a new Fock space type model of the unitary representation of $G$ on $L^{2}$ half-densities on $X$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1905

Classification : 53D55, 22E46, 17B35, 53D50
Keywords: deformation quantization, flag manifold, unitary representation
Mot clés : quantification par déformation, variété de drapeaux, représentation unitaire

Affiliations des auteurs :

Brylinski, Ranee ¹

¹ 22 Overlook Drive, PO Box 1089, Truro MA 02666-1089 (USA)

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Brylinski, Ranee. Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold. Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 3, pp. 881-897. doi : 10.5802/aif.1905. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1905/

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