Systèmes aux q-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie
Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 4, pp. 1021-1071.

G.D. Birkhoff a posé, par analogie avec le cas classique des équations différentielles, le problème de Riemann-Hilbert pour les systèmes “fuchsiens” aux q-différences linéaires, à coefficients rationnels. Il l’a résolu dans le cas générique: l’objet classifiant qu’il introduit est constitué de la matrice de connexion P et des exposants en 0 et ∞. Nous reprenons sa méthode dans le cas général, mais en traitant symétriquement 0 et ∞ et sans recours à des solutions à croissance “sauvage”. Lorsque q tend vers 1, P tend vers une matrice localement constante P˜ telle que les valeurs (en nombre fini) P˜(a)-1P˜(b) sont les matrices de monodromie du système différentiel limite (supposé non résonnant en 0 et ∞) en les singularités de ℂ*.

G.D. Birkhoff extended the classical Riemann-Hilbert problem for differential equations to the case of “fuchsian” linear q-difference systems with rational coefficients. He solved it in the generic case: the classifying object which he introduces is made up of the connection matrix P, together with the exponents at 0 and ∞. We follow his method in the general case, but treat symmetrically 0 and ∞ and use no “wildly” growing solutions. When q tends to 1, P tends to a locally constant matrix P˜ such that the (finitely many) values P˜(a)-1P˜(b) are the monodromy matrices of the limiting differential system (assumed to be non resonant at 0 and ∞) at the singularities on ℂ*.

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