The trace of the generalized harmonic oscillator

Wunsch, Jared

doi:10.5802/aif.1677

Wunsch, Jared

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 351-373.

Résumé
Abstract

On étudie une généralisation géométrique de l’équation de Schrödinger dépendant du temps pour l’oscillateur harmonique

(D_{t} + \frac{1}{2} Δ + V) ψ = 0, (0.1)

où $Δ$ est l’opérateur de Laplace-Beltrami associé à une “métrique scattering” sur une variété compacte $M$ à bord (la classe des métriques scattering est une généralisation des métriques asymptotiquement euclidiennes sur $ℝ^{n}$ , compactifié radialement en une boule) et $V$ est une perturbation de $\frac{1}{2} ω^{2} x^{- 2}$ , où $x$ est une fonction qui définit le bord de $M$ ( par exemple, $x = 1 / r$ dans le cas euclidien compactifié). En employant le front d’onde quadratique-scattering, une généralisation du front d’onde de Hörmander qui mesure les oscillations sur $\partial M$ ainsi que les singularités, on décrit un théorème de propagation des singularités pour les solutions de (0.1). Ceci permet de démontrer le théorème de trace suivant : soit

S_{ω} = \{\frac{L}{ω}; il existe une géodésique fermée dans \partial M de longueur \pm L\} \cup

\{\frac{n π}{ω}; il existe un n -polygone géodésique dans M, à sommets sur \partial M\} \cup {0} .

Soit $U (t) = e^{i t (\frac{1}{2} Δ + V)}$ l’opérateur solution du problème de Cauchy pour (0.1). Alors sous une hypothèse de non-captivité pour le flot géodésique sur $\overset{\circ}{M}$ , on a

supp sing Tr U (t) \subset S_{ω},

où $Tr U (t)$ est la distribution qu’on obtient en intégrant le noyau de Schwartz de $U (t)$ sur la diagonale de $M \times M$ , ou bien en prenant $\sum_{j} e^{- i t λ_{j}}$ , où les $λ_{j}$ sont les valeurs propres de $\frac{1}{2} Δ + V$ .

We study a geometric generalization of the time-dependent Schrödinger equation for the harmonic oscillator

(D_{t} + \frac{1}{2} Δ + V) ψ = 0 (0.1)

where $Δ$ is the Laplace-Beltrami operator with respect to a “scattering metric” on a compact manifold $M$ with boundary (the class of scattering metrics is a generalization of asymptotically Euclidean metrics on $ℝ^{n}$ , radially compactified to the ball) and $V$ is a perturbation of $\frac{1}{2} ω^{2} x^{- 2}$ , with $x$ a boundary defining function for $M$ (e.g. $x = 1 / r$ in the compactified Euclidean case). Using the quadratic-scattering wavefront set, a generalization of Hörmander’s wavefront set that measures oscillation at $\partial M$ as well as singularities, we describe a propagation of singularities theorem for solutions of (0.1). This enables us to prove the following trace theorem : let

S_{ω} = \{\frac{L}{ω} : there exists a closed geodesic in \partial M of length \pm L\}

\cup \{\frac{n π}{ω} : there exists a geodesic n -gon in M with vertices \partial M\} \cup {0} .

Let $U (t) = e^{i t (\frac{1}{2} Δ + V)}$ be the solution operator to the Cauchy problem for (0.1). Then under a non-trapping assumption for the geodesic flow on $\overset{\circ}{M}$ , we have

supp sing Tr U (t) \subset S_{ω},

where $Tr U (t)$ is the distribution given by integrating the Schwartz kernel of $U (t)$ over the diagonal in $M \times M$ or, alternatively, by $\sum_{j} e^{- i t λ_{j}}$ , where $λ_{j}$ are the eigenvalues of $\frac{1}{2} Δ + V$ .

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DOI : 10.5802/aif.1677

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Wunsch, Jared. The trace of the generalized harmonic oscillator. Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 351-373. doi : 10.5802/aif.1677. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1677/

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