Singularité de séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables et applications en théorie analytique des nombres

Essouabri, Driss

doi:10.5802/aif.1570

Essouabri, Driss

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 2, pp. 429-483.

Résumé
Abstract

Soit $P \in ℝ [X_{1}, ..., X_{n}]$ un polynôme. On appelle série de Dirichlet associée à $P$ la fonction : $s \mapsto Z (P; s) = \sum_{m \in ℕ^{* n}} P (m)^{- s} (s \in ℂ)$ . Dans cet article nous étudions l’existence et les propriétés du prolongement méromorphe d’une telle série sous l’hypothèse qu’il existe $B \in] 0, 1 [$ tel que : i) $P (x) \to + \infty$ quand $| | x | | \to + \infty$ et $x \in [B, + \infty [^{n}$ et ii) $d (Z (P), [B, + \infty [^{n}) > 0$ où $Z (P) = {z \in ℂ^{n} | P (z) = 0}$ . Cette hypothèse est probablement optimale et en tout cas contient strictement toutes les classes de polynômes déjà traitées antérieurement. Sous cette hypothèse nos principaux résultats sont : l’existence du prolongement méromorphe au plan complexe de la série de Dirichlet, la caractérisation d’un ensemble de candidats pôles, la majoration de leurs ordres par la dimension $n$ et l’obtention de majoration du prolongement méromorphe sur les bandes verticales de $ℂ$ . Comme application nous montrons l’existence d’un développement asymptotique limité de la fonction de comptage $N_{P} (t) = # {m \in ℕ^{* n} | P (m) \leq t}$ quand $t \to + \infty$ .

We consider the Dirichlet series $s \mapsto Z (P; s) = \sum_{m \in ℕ^{* n}} P (m)^{- s} (s \in ℂ)$ where $P \in ℝ [X_{1}, ..., X_{n}]$ . We will say that $Z (P; s)$ exists if this multiple series is absolutely convergent. In this paper we study meromorphic continuations of such series, under the assumptions that there exists a constant $B \in] 0, 1 [$ such that: i) $P (x) \to + \infty$ when $| | x | | \to + \infty$ and $x \in [B, + \infty [^{n}$ and ii) $d (Z (P), [B, + \infty [^{n}) > 0$ where $Z (P) = {z \in ℂ^{n} | P (z) = 0}$ . This assumption is probably optimal, and in any way strictly includes all classes of polynomials previously treated. Under this assumption, we prove the existence of meromorphic continuation of Dirichlet series, we give a set of candidate poles and an upper bound to the orders of these poles. Moreover we obtain bounds for these meromorphic continuation on vertical bands. As an application, we show the existence of a finite asymptotic expansion of the counting function: $N_{P} (t) = # {m \in ℕ^{* n} | P (m) \leq t}$ when $t \to + \infty$

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Essouabri, Driss. Singularité de séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables et applications en théorie analytique des nombres. Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 2, pp. 429-483. doi : 10.5802/aif.1570. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1570/

Bibliographie
Cité par

[1] M.F. Atiyah, Resolutions of singularities and division of distributions, Com. Pure and Applied Mathematics, XXIII (1970), 145-150. | MR | Zbl

[2] P. Cassou-Noguès, Applications arithmétiques de l'étude des valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées à un polynôme, Ann. Inst. Fourier, 31-4 (1981), 1-36. | Numdam | MR | Zbl

[3] P. Cassou-Noguès, Séries de Dirichlet, Journées Arithmétiques de Metz, Astérisque, 94 (1982), 1-15. | Numdam | Zbl

[4] P. Cassou-Noguès, Prolongement des séries de Dirichlet associées à un polynôme à deux indéterminées, J. Number Theory, 23 (1986), 1-54. | MR | Zbl

[5] M. Coste, Ensembles semi-algébriques, géométrie algébrique réelle et formes quadratiques, in "Proceedings, Rennes, 1981", Lecture Notes in Math., 959, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1982, 109-138. | MR | Zbl

[6] H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero, Annals of Math., 79 (1964), 109-326. | MR | Zbl

[7] L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. | Zbl

[8] B. Lichtin, Generalized Dirichlet series and B-functions, Compositio Math., 65 (1988), 81-120. | Numdam | MR | Zbl

[9] B. Lichtin, Volumes and lattice points. Proof of a conjecture of L. Ehrenpreis, in "Singularities", London Mathem. Soc., Lecture Notes, 201, Cambridge University Press, Cambridge, 1994. | Zbl

[10] B. Lichtin, Asymptotics of a lattice point problem determined by finitely many polynomials II, à paraître. | Zbl

[11] K. Mahler, Über einer Satz von Mellin, Mathematische Annalen, 100 (1928), 384-395. | JFM

[12] R.H. Mellin, Acta Soc. Scient. Fennicae, 29, 4 (1900).

[13] K.F Roth, Rational approximation to algebraic numbers, Mathematica, 2 (1955), 1-20 (with corrigendium p. 168). | MR | Zbl

[14] P. Sargos, Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables, Ann. Institut Fourier, 34-3 (1984), 83-123. | Numdam | MR | Zbl

[15] P. Sargos, Séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables, thèse d'Etat, Université de Bordeaux I, 1987.

[16] P. Sargos, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications, J. reine angew. Math., 367 (1986), 139-154. | MR | Zbl

[17] E.C. Titchmarsh, The theory of the riemann zeta function, Oxford University Press, Oxford, 1951. | MR | Zbl

[18] A. Yger, Formules de division et prolongements méromorphes, Séminaire d'analyse (P. Lelong-P. Dolbeault-H. Skoda), Lecture Notes in Math., 1295, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1988.

[19] B.M. Van Der Wærden, Einführung in die algebraische Geometrie, Berlin Verlag von Julius Springer, 1939. | Zbl

[20] R.J. Walker, Algebraic curves, Princeton University Press, 1950. | MR | Zbl

Essouabri, Driss; Matsumoto, Kohji Values of multiple zeta functions with polynomial denominators at non-positive integers, International Journal of Mathematics, Volume 32 (2021) no. 06, p. 2150038 | DOI:10.1142/s0129167x21500385
Komori, Yasushi Finite multiple zeta values, symmetric multiple zeta values and unified multiple zeta functions, Tohoku Mathematical Journal, Volume 73 (2021) no. 2 | DOI:10.2748/tmj.20200226
Lapidus, M.L.; Radunović, G.; Žubrinić, D. Distance and tube zeta functions of fractals and arbitrary compact sets, Advances in Mathematics, Volume 307 (2017), p. 1215 | DOI:10.1016/j.aim.2016.11.034
Lapidus, Michel L.; Radunović, Goran; Žubrinić, Darko Complex dimensions of fractals and meromorphic extensions of fractal zeta functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 453 (2017) no. 1, p. 458 | DOI:10.1016/j.jmaa.2017.03.059
Mehta, Jay; Saha, Biswajyoti; Viswanadham, G.K. Analytic properties of multiple zeta functions and certain weighted variants, an elementary approach, Journal of Number Theory, Volume 168 (2016), p. 487 | DOI:10.1016/j.jnt.2016.04.027
Sadaoui, Boualem; Derbal, Abdellah Behaviour at the non-positive integers of Dirichlet series associated to polynomials of several variables, manuscripta mathematica, Volume 151 (2016) no. 1-2, p. 183 | DOI:10.1007/s00229-016-0833-3
FRIEDMAN, EDUARDO; PEREIRA, ALDO SPECIAL VALUES OF DIRICHLET SERIES AND ZETA INTEGRALS, International Journal of Number Theory, Volume 08 (2012) no. 03, p. 697 | DOI:10.1142/s1793042112500406
KOMORI, YASUSHI; MATSUMOTO, KOHJI; TSUMURA, HIROFUMI ON WITTEN MULTIPLE ZETA-FUNCTIONS ASSOCIATED WITH SEMI-SIMPLE LIE ALGEBRAS IV, Glasgow Mathematical Journal, Volume 53 (2011) no. 1, p. 185 | DOI:10.1017/s0017089510000613
Komori, Yasushi; Matsumoto, Kohji; Tsumura, Hirofumi Shuffle products for multiple zeta values and partial fraction decompositions of zeta-functions of root systems, Mathematische Zeitschrift, Volume 268 (2011) no. 3-4, p. 993 | DOI:10.1007/s00209-010-0705-6
ZHAO, Jianqiang; ZHOU, Xia Witten Multiple Zeta Values Attached to $sl (4)$ , Tokyo Journal of Mathematics, Volume 34 (2011) no. 1 | DOI:10.3836/tjm/1313074447
ZHAO, JIANQIANG ALTERNATING EULER SUMS AND SPECIAL VALUES OF THE WITTEN MULTIPLE ZETA FUNCTION ATTACHED TO, Journal of the Australian Mathematical Society, Volume 89 (2010) no. 3, p. 419 | DOI:10.1017/s1446788711001054
KOMORI, Yasushi; MATSUMOTO, Kohji; TSUMURA, Hirofumi On Witten multiple zeta-functions associated with semisimple Lie algebras II, Journal of the Mathematical Society of Japan, Volume 62 (2010) no. 2 | DOI:10.2969/jmsj/06220355
DE CRISENOY, Marc; ESSOUABRI, Driss Relations between values at T -tuples of negative integers of twisted multivariable zeta series associated to polynomials of several variables, Journal of the Mathematical Society of Japan, Volume 60 (2008) no. 1 | DOI:10.2969/jmsj/06010001
Komori, Yasushi An integral representation of the Mordell-Tornheim double zeta function and its values at non-positive integers, The Ramanujan Journal, Volume 17 (2008) no. 2, p. 163 | DOI:10.1007/s11139-008-9130-4
Matsumoto, Kohji Analytic Properties of Multiple Zeta-Functions in Several Variables, Number Theory, Volume 15 (2006), p. 153 | DOI:10.1007/0-387-30829-6_11
ESSOUABRI, D. Zeta functions associated to Pascal's triangle mod p, Japanese journal of mathematics. New series, Volume 31 (2005) no. 1, p. 157 | DOI:10.4099/math1924.31.157
Essouabri, Driss Preuve d'une conjecture de Hardy et Littlewood, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics, Volume 328 (1999) no. 7, p. 557 | DOI:10.1016/s0764-4442(99)80246-8

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