Intégrales orbitales sur $GL(N)$ et corps locaux proches

Lemaire, Bertrand

doi:10.5802/aif.1539

Intégrales orbitales sur

G L (N)

et corps locaux proches

Lemaire, Bertrand

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 4, pp. 1027-1056.

Résumé
Abstract

Soient $F$ un corps local non archimédien, $N$ un entier $\geq 2$ , $\underset{̲}{G} = G L (N)$ , $n$ un entier $\geq 1$ et $ℋ (\underset{̲}{G} (F), K_{F}^{n})$ l’algèbre de Hecke de $\underset{̲}{G} (F)$ relative au sous-groupe de congruence modulo $𝒫_{F}^{n}$ de $\underset{̲}{G} (𝒪_{F})$ . On prouve une formule explicite pour les intégrales orbitales elliptiques des fonctions de $ℋ (\underset{̲}{G} (F), K_{F}^{n})$ . Grâce à cette formule, pour $γ \in \underset{̲}{G} (F)$ semi-simple régulier, on produit un entier $r = r (γ, n) \geq n$ tel que pour tout corps local non archimédien $F^{'}$ $r$ -proche de $F$ (i.e. tel qu’il existe un isomorphisme d’anneaux $𝒪_{F} / 𝒫_{F}^{r} ≃ 𝒪_{F^{'}} / 𝒫_{F^{'}}^{r}$ ), il existe $γ^{'} \in \underset{̲}{G} (F^{'})$ semi-simple régulier tel que les intégrales orbitales au point $γ$ de toutes les fonctions de $ℋ (\underset{̲}{G} (F), K_{F}^{n})$ coïncident, via la donnée d’un isomorphisme d’algèbres $ℋ (\underset{̲}{G} (F), K_{F}^{n}) ≃ ℋ (\underset{̲}{G} (F^{'}), K_{F^{'}}^{n})$ , avec celles des fonctions de $ℋ (\underset{̲}{G} (F^{'}), K_{F^{'}}^{n})$ au point $γ^{'}$ .

Let $F$ be a local non-archimedean field, $N$ an integer $\geq 2$ , $\underset{̲}{G} = G L (N)$ , $n$ a positive integer and $ℋ (\underset{̲}{G} (F), K_{F}^{n})$ the Hecke algebra of $\underset{̲}{G} (F)$ with respect to the congruence subgroup modulo $𝒫_{F}^{n}$ of $\underset{̲}{G} (𝒪_{F})$ . We prove an explicit formula for the elliptic orbital integrals of functions in $ℋ (\underset{̲}{G} (F), K_{F}^{n})$ . Thanks to this formula, for $γ \in \underset{̲}{G} (F)$ semi-simple regular, we produce an integer $r = r (γ, n) \geq n$ such that for any local non-archimedean field $F^{'}$ $r$ -close to $F$ (i.e. such that there exists an isomorphism of rings $𝒪_{F} / 𝒫_{F}^{r} ≃ 𝒪_{F^{'}} / 𝒫_{F^{'}}^{r}$ ), there exists $γ^{'} \in \underset{̲}{G} (F^{'})$ semi-simple regular such that the orbital integrals at $γ$ of all functions in $ℋ (\underset{̲}{G} (F), K_{F}^{n})$ match, via a given isomorphism of algebras $ℋ (\underset{̲}{G} (F), K_{F}^{n}) ≃ ℋ (\underset{̲}{G} (F^{'}), K_{F^{'}}^{n})$ , those of functions in $ℋ (\underset{̲}{G} (F^{'}), K_{F^{'}}^{n})$ at $γ^{'}$ .

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DOI : 10.5802/aif.1539

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Lemaire, Bertrand. Intégrales orbitales sur $GL(N)$ et corps locaux proches. Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 4, pp. 1027-1056. doi : 10.5802/aif.1539. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1539/

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