A Stark conjecture “over 𝐙” for abelian L-functions with multiple zeros
Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 1, pp. 33-62.

Soit M/k une extension abélienne de corps de nombres. La conjecture de Stark prédit, sous des hypothèses convenables, l’existence d’une unité globale ε de K telle que les valeurs spéciales L′(χ,0) (pour tout caractère χ de Gal(K/k)) s’expriment comme des combinaisons linéaires des logarithmes des différentes valeurs absolues de ε.

Dans cet article nous formulons une généralisation de cette conjecture, pour essayer de comprendre les valeurs L(r)(χ,0) même quand r=ords=0L(χ,s)>1. Notre conjecture ne prédit plus l’existence d’unités globales particulières, mais elle prédit l’existence des éléments spéciaux dans une puissance extérieure du module galoisien des unités globales (ou S-unités). Nous discutons aussi les connexions entre cette conjecture, les formules de nombre de classes et les systèmes d’Euler.

Suppose K/k is an abelian extension of number fields. Stark’s conjecture predicts, under suitable hypotheses, the existence of a global unit ε of K such that the special values L′(χ,0) for all characters χ of Gal/(K/k) can be expressed as simple linear combinations of the logarithms of the different absolute values of ε.

In this paper we formulate an extension of this conjecture, to attempt to understand the values L(r)(χ,0) when the order of vanishing r may be greater than one. This conjecture no longer predicts the existence of individual special global units, but rather of special elements in an exterior power of the Galois module of global units (or S-units). We also discuss connections between this conjecture, class number formulas, and Euler systems.

@article{AIF_1996__46_1_33_0,
     author = {Rubin, Karl},
     title = {A {Stark} conjecture {\textquotedblleft}over ${\bf Z}${\textquotedblright} for abelian $L$-functions with multiple zeros},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {33--62},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {46},
     number = {1},
     year = {1996},
     doi = {10.5802/aif.1505},
     mrnumber = {97d:11174},
     zbl = {0834.11044},
     language = {en},
     url = {https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1505/}
}
TY  - JOUR
AU  - Rubin, Karl
TI  - A Stark conjecture “over ${\bf Z}$” for abelian $L$-functions with multiple zeros
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1996
SP  - 33
EP  - 62
VL  - 46
IS  - 1
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1505/
DO  - 10.5802/aif.1505
LA  - en
ID  - AIF_1996__46_1_33_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Rubin, Karl
%T A Stark conjecture “over ${\bf Z}$” for abelian $L$-functions with multiple zeros
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1996
%P 33-62
%V 46
%N 1
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1505/
%R 10.5802/aif.1505
%G en
%F AIF_1996__46_1_33_0
Rubin, Karl. A Stark conjecture “over ${\bf Z}$” for abelian $L$-functions with multiple zeros. Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 1, pp. 33-62. doi : 10.5802/aif.1505. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1505/

[1] K. Brown, Cohomology of groups, Grad. Texts in Math., 87, New York, Springer (1982). | MR | Zbl

[2] P. Deligne, K. Ribet, Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields, Invent. Math., 59 (1980), 227-286. | MR | Zbl

[3] R. Gillard, Remarques sur les unités cyclotomiques et les unités elliptiques, J. Number Theory, 11 (1979), 21-48. | MR | Zbl

[4] B. H. Gross, On the values of abelian L-functions at s = 0, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 35 (1988), 177-197. | MR | Zbl

[5] M. Krasner, Sur la représentation exponentielle dans les corps relativement galoisiens de nombers p-adiques, Acta Arith., 3 (1939), 133-173. | JFM

[6] J. Masley, Solution of the class number 2 problem for cyclotomic fields, Invent. Math., 28 (1975), 243-244. | MR | Zbl

[7] B. Mazur, A. Wiles, Class fields of abelian extensions of Q, Invent. Math., 76 (1984), 179-330. | MR | Zbl

[8] K. Rubin, Stark units and Kolyvagin's Euler systems, J. für die reine und angew. Math., 425 (1992), 141-154. | MR | Zbl

[9] J. Sands, Stark's conjecture and abelian L-functions with higher order zeros at s = 0, Advances in Math., 66 (1987), 62-87. | MR | Zbl

[10] H. Stark, L-functions at s = 1 I, II, III, IV, Advances in Math., 7 (1971), 301-343, 17 (1975), 60-92, 22 (1976), 64-84, 35 (1980), 197-235. | Zbl

[11] J. Tate, Les conjectures de Stark sur les fonctions L d'Artin en s = 0, Prog. in Math., 47, Boston, Birkhäuser (1984). | Zbl

[12] D. S. Rim, An exact sequence in Galois cohomology, Proc. Amer. Math. Soc., 16 (1965), 837-840. | MR | Zbl

[13] R. Swan, K-theory of finite groups and orders, Lecture notes in Math., 149, New York, Springer (1970). | MR | Zbl

Cité par Sources :