Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques

Ayad, Mohamed

doi:10.5802/aif.1349

Périodicité (mod

q

) des suites elliptiques et points

S

-entiers sur les courbes elliptiques

Ayad, Mohamed

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 3, pp. 585-618.

Résumé
Abstract

Soit $E$ une courbe elliptique sur $ℚ$ par un modèle de Weierstrass généralisé :

y^{2} + A_{1} x y + A_{3} y = x^{3} + A_{2} x^{2} + A_{4} x + A_{6}; A_{i} \in ℤ .

Soit $M = (a / d^{2}, b / d_{3})$ avec $(a, d) = 1$ , un point rationnel sur cette courbe. Pour tout entier $m$ , on exprime les coordonnées de $m M$ sous la forme :

m M = (\frac{ϕ_{m} (M)}{ψ_{n}^{2} (m)}, \frac{ω_{m} (M)}{ψ_{m}^{3} (M)}) = (\frac{{\hat{ϕ}}_{m}}{d^{2} {\hat{ψ}}_{m}^{2}}, \frac{{\hat{ω}}_{m}}{d^{3} {\hat{ψ}}_{m}^{3}}),

où $ϕ_{m}, ψ_m, ω_{m} \in ℤ [A_{1}, \dots, A_{6}, x, y]$ et ${\hat{ϕ}}_{m}$ , ${\hat{ψ}}_{m}$ , ${\hat{ω}}_{m}$ sont déduits par multiplication par des puissances convenables de $d$ .

Soit $p$ un nombre premier impair et supposons que $M (\mod p)$ est non singulier et que le rang d’apparition de $p$ dans la suite d’entiers $({\hat{ψ}}_{m})$ est supérieur ou égal à trois. Notons ce rang par $r = r (p)$ et soit $ν_{p} ({\hat{ψ}}_{r}) = e_{0} \geq 1$ . Nous montrons que la suite $({\hat{ψ}}_{m})$ est périodique (mod $p^{N}$ ) pour tout $N \geq 1$ . Notons cette période par $π_{N}$ , alors il existe un rang $N_{1}$ effectivement calculable, avec $1 \leq N_{1} \leq e_{0}$ , tel que $π_{1} = \dots = π_{N_{1}}$ et $π_{N + 1} = p π_{N}$ pour $N \geq N_{1}$ . Ces considérations sont utilisées pour déterminer les points $S$ -entiers sur les courbes elliptiques.

Let $E$ be an elliptic curve defined over $ℚ$ by a generalized Weierstrass equation:

y^{2} + A_{1} x y + A_{3} y = x^{3} + A_{2} x^{2} + A_{4} x + A_{6}; A_{i} \in ℤ .

Let $M = (a / d^{2}, b / d_{3})$ , with $(a, d) = 1$ , be a rational point on this curve. For every integer $m$ , we express the coordinates of $m M$ in the form:

m M = (\frac{ϕ_{m} (M)}{ψ_{n}^{2} (m)}, \frac{ω_{m} (M)}{ψ_{m}^{3} (M)}) = (\frac{{\hat{ϕ}}_{m}}{d^{2} {\hat{ψ}}_{m}^{2}}, \frac{{\hat{ω}}_{m}}{d^{3} {\hat{ψ}}_{m}^{3}}),

where $ϕ_{m}, ψ_m, ω_{m} \in ℤ [A_{1}, \dots, A_{6}, x, y]$ and ${\hat{ϕ}}_{m}$ , ${\hat{ψ}}_{m}$ , ${\hat{ω}}_{m}$ are obtained from these by multiplying by appropriate powers of $d$ .

Let $p$ be a rational odd prime and suppose that $M (\mod p)$ is non singular and that the rank of apparition of $p$ in the sequence of integer $({\hat{ψ}}_{m})$ is at least equal to three. Denote this rank by $r = r (p)$ and let $ν_{p} ({\hat{ψ}}_{r}) = e_{0} \geq 1$ . We show that the sequence $({\hat{ψ}}_{m})$ is periodic (mod $p^{N}$ ) for every $N \geq 1$ . Denote this period by $Π_{N}$ , then there exists a rank $N_{1}$ effectively computable, $1 \leq N_{1} \leq e_{0}$ , such that $π_{1} = \dots = π_{N_{1}}$ and $π_{N + 1} = p π_{N}$ for $N \geq N_{1}$ . These considerations are used to find $S$ -integral points on elliptic curves.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1349

@article{AIF_1993__43_3_585_0,
     author = {Ayad, Mohamed},
     title = {P\'eriodicit\'e (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {585--618},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {43},
     number = {3},
     year = {1993},
     doi = {10.5802/aif.1349},
     mrnumber = {94f:11009},
     zbl = {0781.11007},
     language = {fr},
     url = {https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1349/}
}

TY  - JOUR
AU  - Ayad, Mohamed
TI  - Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1993
SP  - 585
EP  - 618
VL  - 43
IS  - 3
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1349/
DO  - 10.5802/aif.1349
LA  - fr
ID  - AIF_1993__43_3_585_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Ayad, Mohamed
%T Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1993
%P 585-618
%V 43
%N 3
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1349/
%R 10.5802/aif.1349
%G fr
%F AIF_1993__43_3_585_0

Ayad, Mohamed. Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 3, pp. 585-618. doi : 10.5802/aif.1349. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1349/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Ayad, Points S-entiers des courbes elliptiques, Manuscripta Math., 76 (1992), 305-324. | MR | Zbl

[2] R.A. Bateman, E.A. Clarck, M. Hancock, C.A. Reiter, The Period of Convergents modulo M of Reduced Quadratic Irrationals, Fibo. Quarterly, 29 (1991), 220-229. | MR | Zbl

[3] P.R.D. Carmichael, On Sequences of Integers defined by Recurrence Relations, Quarterly J. of Math., 48 (1920), 343-372.

[4] J.W.S. Cassels, The Rational Solutions of the Diophantine Equation y2 = x3 - D, Acta Math., 82 (1950), 243-273. | MR | Zbl

[5] A.T. Engstrom, On Sequences defined by Linear Recurrence Relations, Trans. A.M.S., 33 (1931), 210-218. | JFM | MR | Zbl

[6] M. Hall, An Isomorphism between Linear Recurring Sequences and Algebraic Rings, Trans. Amer. Math. Soc., 44 (1938), 196-218. | JFM | MR | Zbl

[7] E. Lutz, Sur l'équation y2 = x3 - Ax - B dans les corps p-adiques, J. Reine Angew. Math., 177 (1937), 237-247. | JFM | Zbl

[8] J. Pihko, A Note on a Theorem of Schinzel, Fibo. Quarterly, 29 (1991), 333-338. | MR | Zbl

[9] A. Schinzel, Special Lucas Sequences, including the Fibonacci Sequence modulo a Prime. In a tribute to Paul Erdos, A. Baker, B. Bollobas and A. Hajnal Ed., Cambridge University Press (1990), 349-357. | MR | Zbl

[10] D.D. Wall, Fibonacci Series modulo m, Amer. Math. Monthly, 67 (1960), 525-532. | MR | Zbl

[11] M. Ward, The Characteristic Number of a Sequence of Integers Satisfying a Linear Recursion Relation, Trans. Amer. Math. Soc., 33 (1931), 153-165. | JFM | MR | Zbl

[12] M. Ward, Memoir on Elliptic Divisibility Sequences, Amer. J. of Math., 70 (1948), 31-74. | MR | Zbl

[13] M. Ward, The Law of Repetition of Primes in an Elliptic Divisibility sequence, Duke Math. J., 15 (1948), 941-946. | MR | Zbl

[14] H.C. Williams, A Note on the Fibonacci Quotient Fp-ε/p, Canad. Math. Bull., 25 (1982), 366-370. | MR | Zbl

[15] Zhi-Hong Sun and Zhi-Wei Sun, Fibonacci Numbers and Fermat's Last Theorem, Acta Arith., 60 (1992), 371-388. | MR | Zbl

Cité par Sources :