Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier

Gras, Georges

doi:10.5802/aif.1319

Gras, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 1, pp. 1-20.

Résumé
Abstract

Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout $p$ premier ne divisant pas $[F : ℚ]$ , un système de générateurs du $p$ -groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire $F$ , ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli $B_{1} (ψ^{- 1})$ . Des exemples numériques sont donnés pour $p = 3$ et $p = 5$ , dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de $p$ -groupe des classes possédant une $χ$ -composante non monogène (pour un caractère $ℚ_{p}$ -irréductible $χ$ impair non quadratique) a été trouvé par T. Berthier avec $p = 5$ , et le corps quartique cyclique de conducteur $37 \times 541$ contenant $ℚ (\sqrt{37}$ ).

Following results by R. Schoof and by H.W. Lenstra–R. Schoof, we give a method allowing to find, for all prime $p$ not dividing $[F : ℚ]$ , a system of generators of the relative $p$ -class group of the imaginary abelian field $F$ , only with the knowledge of Bernoulli numbers $B_{1} (ψ^{- 1})$ . Numerical examples are given for $p = 3$ and $p = 5$ about cyclic extensions of degrees 2 and 4. The first example of $p$ -class group having a non cyclic $χ$ -component (for a $ℚ_{p}$ -irreducible odd and not quadratic character $χ$ ) has been found by T. Berthier for $p = 5$ , and the cyclic quartic field of conductor $37 \times 51$ containing $ℚ (\sqrt{37}$ ).

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1319

@article{AIF_1993__43_1_1_0,
     author = {Gras, Georges},
     title = {Sur la structure des groupes de classes relatives. {Avec} un appendice d'exemples num\'eriques par {T.} {Berthier}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1--20},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {43},
     number = {1},
     year = {1993},
     doi = {10.5802/aif.1319},
     mrnumber = {94i:11091},
     zbl = {0786.11065},
     language = {fr},
     url = {https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1319/}
}

TY  - JOUR
AU  - Gras, Georges
TI  - Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1993
SP  - 1
EP  - 20
VL  - 43
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1319/
DO  - 10.5802/aif.1319
LA  - fr
ID  - AIF_1993__43_1_1_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Gras, Georges
%T Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1993
%P 1-20
%V 43
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1319/
%R 10.5802/aif.1319
%G fr
%F AIF_1993__43_1_1_0

Gras, Georges. Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier. Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 1, pp. 1-20. doi : 10.5802/aif.1319. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1319/

Bibliographie
Cité par

[B] T. Berthier, Étude numérique des p-groupes de classes des corps abéliens (en préparation).

[G1] G. Gras, Étude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens, Astérisque, 41-42 (1977), 35-53. | Numdam | MR | Zbl

[G2] G. Gras, Sur les l-classes d'idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier l, Ann. Inst. Fourier, 23-3 (1973), 1-48. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[G3] G. Gras, Nombre de φ-classes invariantes. Application aux classes des corps abéliens, Bull. Soc. Math. de France, 106 (1978), 337-364. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[G(MN)] M.-N. Gras, Étude des corps quartiques cycliques, Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Année 1977/1978, fasc. 2 (réédition 1985).

[K] V.A. Kolyvagin, Euler systems, The Grothendieck Festchrift, vol. II, Progress in Math. 87, pp. 435-483, Birkhäuser, Boston (1990). | MR | Zbl

[LSc] H.W. Lenstra and R.J. Schoof, Class groups of imaginary number fields (to appear).

[MW] B. Mazur and A. Wiles, Class fields of abelian extensions of ℚ, Invent. Math., 76 (1984), 179-330. | EuDML | MR | Zbl

[Or] B. Oriat, Groupes des classes d'idéaux des corps quadratiques (...), Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Années 1986/1987-1987/1988, fasc. 2.

[Sc1] R.J. Schoof, The structure of the minus class groups of abelian number fields, Séminaire de théorie des Nombres, Paris, Année 1988/1989, Birkhäuser, Progr. in Math., vol 91 (1991). | Zbl

[Sc2] R.J. Schoof, On Kolyvagin's work on cyclotomic fields (in preparation).

[So] D. Solomon, On the class groups of imaginary abelian fields, Ann. Inst. Fourier, 40-3 (1990), 467-492. | Numdam | MR | Zbl

[H*] K. Hardy, R.H. Hudson, D. Richman, K.S. Williams and N.M. Holtz, Calculation of the class numbers of imaginary cyclic quartic fields, Carleton-Ottawa Math. Lect. Notes Series, Num. 7 (1986). | Zbl

K. Hardy, R.H. Hudson, D. Richman, K.S. Williams, Table of the relative class numbers h* (K) of imaginary cyclic quartic fields K with h*(K) ≡ 2 mod 4 and conductor f < 416,000, Carleton-Ottawa Math. Lect. Notes Series, Num. 8 (1987). | Zbl

GRAS, GEORGES Invariant generalized ideal classes – structure theorems for p-class groups in p-extensions, Proceedings - Mathematical Sciences, Volume 127 (2017) no. 1, p. 1 | DOI:10.1007/s12044-016-0324-1
Cornacchia, Pietro The 2-Ideal Class Groups of ℚ(ζl), Nagoya Mathematical Journal, Volume 162 (2001), p. 1 | DOI:10.1017/s0027763000007777
Gras, Georges Principalisation d'idéaux par extensions absolument abéliennes, Journal of Number Theory, Volume 62 (1997) no. 2, p. 403 | DOI:10.1006/jnth.1997.2068
Cornacchia, Pietro Anderson's Module for Cyclotomic Fields of Prime Conductor, Journal of Number Theory, Volume 67 (1997) no. 2, p. 252 | DOI:10.1006/jnth.1997.2184

Cité par 4 documents. Sources : Crossref