Sur certains sous-ensembles de l'espace euclidien

Charbonnel, Jean-Yves

doi:10.5802/aif.1270

Charbonnel, Jean-Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 3, pp. 679-717.

Résumé
Abstract

Soit ${\tilde{𝒜}}_{m}$ l’algèbre des fonctions sur $R^{n}$ engendrée par les fonctions polynomiales et les exponentielles de formes linéaires. La partie $S$ de $R^{n}$ appartient à $𝒫_{n}$ si et seulement s’il existe $m$ et $F$ dans ${\tilde{𝒜}}_{n + m}$ pour lesquels $S$ est l’image par la projection canonique de $R^{n + m}$ sur $R^{n}$ , de l’ensemble des zéros de $F$ . Soit ${\tilde{𝒫}}_{n}$ le plus petit sous-ensemble de parties de $R_{n}$ qui contient $𝒫_{n}$ , l’adhérence de ses éléments et les images par la projection canonique de $R^{n}$ qui contient $𝒫_{n}$ , l’adhérence de ses éléments et les images par la projection canonique de $R^{n + m}$ sur $R^{n}$ , des éléments de ${\tilde{𝒫}}_{n + m}$ . Le but principal de ce mémoire est de montrer que pour tout $n$ , ${\tilde{𝒫}}_{n}$ est stable par intersection finie, par réunion finie et par passage complémentaire.

Let ${\tilde{𝒜}}_{m}$ be the algebra of functions on $R^{m}$ generated by polynomial functions and exponentials of linear forms. The subset $S$ in $R^{n}$ belongs to $𝒫_{n}$ if and only if there exist $m$ and $F$ in ${\tilde{𝒜}}_{n + m}$ for which $S$ is the image of the zerosubset of $F$ by the canonical projection of $R^{n + m}$ onto $R^{n}$ . Let ${\tilde{𝒫}}_{n}$ be the smallest subset of parts in $R^{n}$ which contains $𝒫_{n}$ , their closures and the images by the canonical projection of the elements in ${\tilde{𝒫}}_{n + m}$ . The main goal of this article is to prove that ${\tilde{𝒫}}_{n + m}$ contains the complementary part of each element in ${\tilde{𝒫}}_{n + m}$ , the union and the intersection of every finite family in ${\tilde{𝒫}}_{n + m}$ .

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DOI : 10.5802/aif.1270

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Charbonnel, Jean-Yves. Sur certains sous-ensembles de l'espace euclidien. Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 3, pp. 679-717. doi : 10.5802/aif.1270. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1270/

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