Sur la conjecture de Chudnovsky-Demailly et les singularités des hypersurfaces algébriques

Azhari, Abdelhak

doi:10.5802/aif.1205

Azhari, Abdelhak

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 1, pp. 103-116.

Résumé
Abstract

Soit $S$ une partie finie de $P^{n}$ , $t$ un entier positif et $ω_{t} (S)$ le plus petit degré des hypersurfaces de $P^{n}$ ayant en chaque point de S une singularité de multiplicité $\geq t$ . Un théorème d’existence de J.-P. Demailly concernant le prolongement des fonctions analytiques définies au voisinage d’une sous-variété linéaire de $C^{n}$ nous permet d’obtenir des minorations fines de $ω_{t} (S) / t$ pour tout $t$ . En particulier, nous montrons

(ω_{t_{1}} (S) + n - a - 1) / (t_{1} + n - 1) \leq ω_{t} (S) / t

où $a$ est la dimension de l’ensemble des points singuliers non à croisements normaux du diviseur de P lorsque deg P $= ω_{t} (S)$ . Ceci redonne le résultat de H. Esnault et E. Viehweg par une méthode analytique assez élémentaire et contribue à renforcer la vraisemblance de la conjecture de Chudnovsky-Demailly.

Let $S$ be a finite set in the complex projective space $P^{n}$ , and $t$ a posoitive integer and let $ω_{t} (S)$ be the smallest degree of hypersurfaces in $P^{n}$ having at each point of $S$ a singularity of multiplicity $\geq t$ . Thanks to an existence theorem due to J.-P. Demailly, relative to the extension of analaytic functions defined on a neighbourhood of a linear subvariety of $C^{n}$ , we obtain fine lower bounds on $ω_{t} (S) / t$ for every $t$ . In particular we find:

(ω_{t_{1}} (S) + n - a - 1) / (t_{1} + n - 1) \leq ω_{t} (S) / t

in which $a$ is the dimension of the set of singular points of the divisor of $P$ with non normal crossings, when deg $P = ω_{t} (S)$ . This gives an elementary analytic proof of H. Esnault and E. Viehweg’s result and gives substantial support to the Chudnovsky-Demailly conjecture.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1205

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Azhari, Abdelhak. Sur la conjecture de Chudnovsky-Demailly et les singularités des hypersurfaces algébriques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 1, pp. 103-116. doi : 10.5802/aif.1205. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1205/

Bibliographie
Cité par

[1] E. Bombieri, Algebraic values of meromorphic maps, Invent. Math., 10 (1970), 267-287 et 11, 163-166. | EuDML | MR | Zbl

[2] G.-V. Chudnovsky, Singular points on complex hypersurfaces and multi-dimensional Schwarz lemma, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 19, 1978. | Zbl

[3] J.-P. Demailly, Formules de Jensen en plusieurs variables et applications arithmétiques, Bull. Soc. Math. France, 110 (1982), 75-102. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] J.-P. Demailly, Estimations L2 pour l'opérateur ∂ d'un fibré vectoriel holomorphe semi-positif au-dessus d'une variété kählérienne complète, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 4e série, 15 (1982), 457-511. | Numdam | MR | Zbl

[5] H. Esnault, E. Viehweg, Sur une minoration du degré d'hypersurfaces s'annulant en certains points, Math. Ann., 263 (1983), 75-86. | MR | Zbl

[6] H. Skoda, Estimations L2 pour l'opérateur ∂ et applications arithmétiques, Séminaire P. Lelong-H. Skoda (Analyse) 1975/76, Lecture Notes in Math., Springer, 578 (1977), 314-323. | MR | Zbl

[7] M. Waldschmidt, Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, S.M.F., 69-70 (1979). | Numdam | Zbl

Demailly, Jean-Pierre Monge-Ampère Operators, Lelong Numbers and Intersection Theory, Complex Analysis and Geometry (1993), p. 115 | DOI:10.1007/978-1-4757-9771-8_4

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