Courbes de Jordan vérifiant une condition corde-arc

Zinsmeister, Michel

doi:10.5802/aif.870

Zinsmeister, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 13-21.

Résumé
Abstract

Soit $Γ$ une courbe de Jordan fermée rectifiable dans le plan de la variable complexe. On dit que $Γ$ véfifie la condition corde-arc si

\exists C > 1, \forall M, N \in Γ, M N \leq C M N

où $M N$ est la longueur du plus petit arc de $Γ$ joignant $M$ et $N$ . Soit $Φ$ une représentation conforme du disque unité $D$ dans l’intérieur de $Γ$ . Nous prouvons que $| Φ^{'} |$ restreint à $\partial D$ appartient à la classe de Muckenhoupt $A^{\infty} (\partial D)$ et nous en tirons certains corollaires. Dans deux cas particuliers nous montrons que le résultat peut être amélioré.

Let $Γ$ be a rectifiable closed Jordan curve of the complex plane. We say that $Γ$ is chord-arc if

\exists C > 1, \forall M, N \in Γ, M N \leq C M N

where $M N$ is the length of the (smallest) subarc of $Γ$ joining $M$ and $N$ . Let $Φ$ be a conformal mapping from the unit disk $D$ to the interior domain of $Γ$ . We prove that $| Φ^{'} |$ , restricted to $\partial D$ belongs to the Muckenhoupt’s class $A^{\infty} (\partial D)$ and state a few corollaries. Then we study two special cases for which the result can be improved.

MR Zbl | 1 citation dans Numdam

DOI : 10.5802/aif.870

@article{AIF_1982__32_2_13_0,
     author = {Zinsmeister, Michel},
     title = {Courbes de {Jordan} v\'erifiant une condition corde-arc},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {13--21},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {32},
     number = {2},
     year = {1982},
     doi = {10.5802/aif.870},
     mrnumber = {84j:30052},
     zbl = {0468.30001},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.870/}
}

TY  - JOUR
AU  - Zinsmeister, Michel
TI  - Courbes de Jordan vérifiant une condition corde-arc
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1982
SP  - 13
EP  - 21
VL  - 32
IS  - 2
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.870/
DO  - 10.5802/aif.870
LA  - fr
ID  - AIF_1982__32_2_13_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Zinsmeister, Michel
%T Courbes de Jordan vérifiant une condition corde-arc
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1982
%P 13-21
%V 32
%N 2
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.870/
%R 10.5802/aif.870
%G fr
%F AIF_1982__32_2_13_0

Zinsmeister, Michel. Courbes de Jordan vérifiant une condition corde-arc. Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 13-21. doi : 10.5802/aif.870. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.870/

Bibliographie
Cité par

[1] L. Ahlfors, Lectures on quasiconformal mappings, Princeton, 1966. | MR | Zbl

[2] R. R. Coifman, C. Fefferman, Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals, Studia Math., 51 (1974), 241-249. | EuDML | MR | Zbl

[3] R. R. Coifman, Y. Meyer, Le théorème de Caldéron par des méthodes de variable réelle, C.R.A.S., Paris, Sér. A, t. 289 (1979), 425-428. | MR | Zbl

[4] D. S. Jerison, C. E. Kenig, Hardy spaces, A∞ and singular integrals on chordarcs domains, (preprint). | Zbl

[5] M. B. Keldysch, M. Lavrent'Ev, Sur la transformation conforme des domaines limités par des courbes rectifiables, Ann. Sci. E.N.S., 3e série, t. 54 (1937), 1-38. | JFM | Numdam | Zbl

[6] C. E. Kenig, Weighted Hardy spaces on Lipschitz domains, Amer. J. Math., 102 (1980), 129-163. | MR | Zbl

[7] Ch. Pommerenke, Schichte Funktionen und BMOA, Comm. Math. Helv., 62 (1977), 591-602. | EuDML | Zbl

[8] Ch. Pommerenke, Univalent functions, Göttingen, 1975.

[9] M. Zinsmeister, Espaces de Hardy généralisés, Thèse de 3e cycle, Orsay (1980).

[10] A. Zygmund, Trigonometric series, Cambridge, 1959. | Zbl

Karpukhin, Mikhail; Lagacé, Jean; Polterovich, Iosif Weyl's law for the Steklov problem on surfaces with rough boundary, Archive for Rational Mechanics and Analysis, Volume 247 (2023) no. 5, p. 20 (Id/No 77) | DOI:10.1007/s00205-023-01912-6 | Zbl:1521.35124
Baratchart, Laurent; Bourgeois, Laurent; Leblond, Juliette Uniqueness results for inverse Robin problems with bounded coefficient, Journal of Functional Analysis, Volume 270 (2016) no. 7, pp. 2508-2542 | DOI:10.1016/j.jfa.2016.01.011 | Zbl:1439.35559
Wolff, Thomas H. Counterexamples to two variants of the Helson-Szegö theorem., Journal d'Analyse Mathématique, Volume 88 (2002), pp. 41-62 | DOI:10.1007/bf02786574 | Zbl:1162.30324
Duren, P. L. Smirnov domains, Journal of Soviet Mathematics, Volume 63 (1989) no. 2, p. 1 | DOI:10.1007/bf01099309 | Zbl:0784.30001
Dyn'kin, E. M.; Osilenker, B. P. Weighted estimates of singular integrals and their applications, Journal of Soviet Mathematics, Volume 30 (1985), pp. 2094-2154 | DOI:10.1007/bf02105397 | Zbl:0568.42009
Guadalupe, J. J.; Rezola, M. L. Closure of analytic polynomials in weighted Jordan curves, Polynômes Orthogonaux et Applications, Volume 1171 (1985), p. 204 | DOI:10.1007/bfb0076545
Zinsmeister, Michel Représentation conforme et courbes presque lipschitziennes, Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 2, pp. 29-44 | DOI:10.5802/aif.961 | Zbl:0522.30007
Jerison, David S.; Kenig, Carlos E. Hardy spaces, $A_{\infty}$ , and singular integrals on chord-arc domains, Mathematica Scandinavica, Volume 50 (1982), pp. 221-247 | DOI:10.7146/math.scand.a-11956 | Zbl:0509.30025

Cité par 8 documents. Sources : Crossref, zbMATH