La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques

Kori, Tosiaki

doi:10.5802/aif.672

Kori, Tosiaki

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 4, pp. 45-119.

Résumé
Abstract

On introduit les espaces fonctionnels dans lesquels l’opérateur potentiel satisfait au principe semi-complet du maximum si et seulement si la contraction module opère. Un tel espace fonctionnel sur la frontière de Martin d’un espace harmonique symétrique de Brelot est envisagé à l’aide du noyau $Θ$ de Naïm. Il est isomorphe à l’espace de Dirichlet des fonctions harmoniques. L’opérateur potentiel $P$ de cet espace donne la solution du problème de Neumann. On introduit l’espace de Dirichlet des fonctions harmoniques hors d’un compact $K$ , et montre le principe du minimum : une fonction surharmonique $s$ hors de $K$ dont la partie harmonique a l’intégrale de Dirichlet finie est positive si $lim inf s \geq 0$ sur $\partial K$ et si sa dérivée normale à la frontière est positive (au sens que nous préciserons). Nous construisons le noyau-fonction de Neumann dont l’opérateur potentiel s’écrit $N = G - H P \frac{\partial}{\partial n} G$ avec l’opérateur potentiel de Green. $H P \frac{\partial}{\partial n} G$ est compact et d’après le principe du minimum ci-dessus $N$ satisfait au principe semi-complet du maximum. La résolvante markovienne de $N$ sera donnée en utilisant le théorème de l’indice.

We shall introduce the functional spaces where the potential operator satisfies the semi-complete maximum principle if and only if the module contraction operates. Such a functional space on the Martin boundary of a symmetric Brelot’s harmonic space in investigated with the help of Naim’s $Θ$ -kernel. This is isomorphic to the Dirichlet space of harmonic functions. The potential operator $P$ of this functional space gives the solution of Neumann problem. We shall introduce the Dirichlet space of functions that are harmonic out of a compact set $K$ , and shall show the following minimum principle: a superharmonic function $s$ out $K$ whose harmonic part has a finite Dirichlet integral is positive if $lim inf \geq 0$ on $\partial K$ and if its normal derivative at the boundary is positive (in the sense which we will precise later). We construct the kernel-function of Neumann whose potential operator is written by the form $N = G - H P \frac{\partial}{\partial n} G$ , where $G$ is the Green operator. $H P \frac{\partial}{\partial n} G$ is compact and $N$ satisfies the semi-complete maximum principle, which we can see from the above-cited minimum principle. By using the index theorem we give the markovian resolvent of $N$ .

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DOI : 10.5802/aif.672

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Kori, Tosiaki. La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 4, pp. 45-119. doi : 10.5802/aif.672. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.672/

Bibliographie
Cité par

[1] N. Aronszajn, Theory of reproducing kernels, Trans. A.M.S., 68 (1950), 337-404. | MR | Zbl

[2] M. Brelot, Lectures on Potential Theory, Tata Institute, Bombay (1960). | MR | Zbl

[3] A. Beurling and J. Deny, Dirichlet spaces, Proc. Nat. Acad. Sci., (1959), 208-215. | MR | Zbl

[4] J. Deny, Principe complet du maximum et contractions, Ann. Inst. Fourier, 15 (1965), 259-272. | Numdam | MR | Zbl

[5] J. L. Doob, Boundary properties of functions with finite Dirichlet integrals, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 573-621. | Numdam | MR | Zbl

[6] K. Gowrisankaran, Extreme harmonic functions and boundary value problems, Ann. Inst. Fourier, 13, 2 (1963), 307-356. | Numdam | MR | Zbl

[7] T. Kori, Sheaf cohomology theory on harmonic spaces, J. Math. Kyoto Univ., 14, 3 (1974), 555-595. | MR | Zbl

[8] T. Kori, Problème de Neumann sur les espaces harmoniques, Math. Ann., 224 (1976), 53-76. | MR | Zbl

[9] T. Kori, Axiomatic theory of non-negative full-superharmonic functions, J. Math. Soc. Japan, 23 (1971), 481-526. | MR | Zbl

[10] P. A. Meyer, Brelot's axiomatic theory of Dirichlet problem and Hunt's theory, Ann. Inst. Fourier, 13, 2 (1963), 357-372. | Numdam | MR | Zbl

[11] P. A. Meyer, Probabilités et Potentiel, Hermann, Paris (1966). | MR | Zbl

[12] L. Naim, Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 7 (1957), 183-281. | Numdam | MR | Zbl

[13] B. Walsh, Flux in axiomatic potential theory I : Cohomologie, Inventiones Math., 8 (1969), 175-221. | MR | Zbl

Cité par Sources :