Sur les noyaux de Frostman-Kunugui et les noyaux de Dirichlet

Itô, Masayuki

doi:10.5802/aif.661

Itô, Masayuki

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 3, pp. 45-95.

Résumé
Abstract

Considérons un noyau de convolution $κ \neq 0$ sur $R^{n}$ ( $n \geq 3$ ) sphériquement symétrique et vérifiant $Δ κ \geq 0$ en dehors de 0, qui s’appelle un noyau de Frostman-Kunugui. Le but de cet article est de donner les conditions suffisantes pour le principe du balayage de $κ$ .

Supposons que $κ$ est de classe $C^{2}$ en dehors de 0 et s’annule à l’infini. Si $Δ κ$ vérifie la conditions suivante (*), alors $κ = κ_{0} + c r^{2 - n}$ , où $κ_{0}$ est un noyau de Dirichlet et où $c$ est une constante $\geq 0$ .

(*) $Δ κ = 0$ en dehors de 0 ou bien $Δ κ > 0$ en dehors de 0 et, pour $t > 0$ quelconque, $\frac{Δ κ * s_{t} (x)}{Δ κ (x)}$ décroît lorsque $| x | > t$ croît, où $s_{t}$ est la mesure uniforme sur la sphère de centre 0 et de rayon $t$ vérifiant $\int d s_{t} = 1$ .

En l’appliquant, on obtiendra une condition plus concrète pour $κ = κ_{0} + c r^{2 - n}$ .

We consider a spherically symmetric convolution kernel $κ \neq 0$ on $R^{n}$ ( $n \geq 3$ ) satisfying $Δ κ \geq 0$ outside 0, which is called a Frostman-Kunugui kernel. The purpose of this paper is to give some sufficient conditions for the balayage principle of $κ$ .

Suppose that $κ$ is of class $C^{2}$ outside 0 and vanishes at the infinity. If $Δ κ$ satisfies the following condition (*), then $κ = κ_{0} + c r^{2 - n}$ , where $κ_{0}$ is a Dirichlet kernel and $c$ is a non-negative constant.

(*) $Δ κ = 0$ outside 0 or $Δ κ > 0$ outside 0 and, for any $t > 0$ , $\frac{Δ κ * s_{t} (x)}{Δ κ (x)}$ decreases when $| x | > t$ increases, where $s_{t}$ is the uniform measure on the sphere with the center 0 and the radius $t$ satisfying $\int d s_{t} = 1$ .

By using it, we shall obtain a more concrete condition for $κ = κ_{0} + c r^{2 - n}$ .

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DOI : 10.5802/aif.661

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Itô, Masayuki. Sur les noyaux de Frostman-Kunugui et les noyaux de Dirichlet. Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 3, pp. 45-95. doi : 10.5802/aif.661. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.661/

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