Quelques résultats sur les solutions de systèmes d'inéquations de type parabolique

Reynaud, Gérard

doi:10.5802/aif.646

Reynaud, Gérard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 1, pp. 167-230.

Résumé
Abstract

On considère un opérateur $L$ défini par

L u = \sum_{i = 1}^{n} D_{i} P_{i, p} (u) - \sum_{k = 1}^{N} D_{t} [α_{p, k} u_{k}]

où $u$ est une application de $\bar{Ω} \times [0, T]$ dans $R^{N}$ ( $Ω$ ouvert quelconque de $R^{n}$ ), $P_{i, p} (u)$ $(1 \leq i \leq n; 1 \leq p \leq N)$ sont des opérateurs du premier ordre $P_{i, p} (u) = \sum_{j, k} a_{i j k}^{p} D_{j} u_{k}$ dans le cas linéaire), $α_{p k}$ et $a_{i j k}^{p}$ sont des fonctions non nécessairement bornées de $\bar{Ω} \times [0, T]$ . On démontre, sous certaines hypothèses, que les solutions de $- 2 u L u \leq c_{1} u^{2} + μ \sum_{i, p} D_{i} u_{p} . P_{i, p} (u)$ ( $c_{1}$ fonction de $\bar{Ω} \times [0, T]$ , $μ$ constante positive inférieure à 2), vérifient : $t \to \int_{Ω} Φ^{2} α_{p, k} u_{p} . u_{k} d x$ est décroissante ( $Φ^{2}$ fonction poids convenablement choisie). De ce résultat, on obtient des théorèmes d’unicité et, si $N = 1$ , des résultats analogues, mais ne portant que sur la partie positive (ou négative) des solutions. Des contre-exemples montrent que les résultats obtenus ne peuvent pas être “améliorés”.

Consider the operator $L$ defined by

L u = \sum_{i = 1}^{n} D_{i} P_{i, p} (u) - \sum_{k = 1}^{N} D_{t} [α_{p, k} u_{k}]

where $u$ is an $R^{N}$ -valued function on $\bar{Ω} \times [0, T]$ dans ( $Ω$ any open set of $R^{n}$ ), $P_{i, p} (u)$ $(1 \leq i \leq n; 1 \leq p \leq N)$ are first order operators (in linear case $P_{i, p} (u) = \sum_{j, k} a_{i j k}^{p} D_{j} u_{k}, α_{p, k}$ and $a_{i j k}^{p}$ are $R$ -valued not necessarily bounded functions from $\bar{Ω} \times [0, T]$ . Under some hypothesis, we prove that the solutions of $- 2 u L u \leq c_{1} u^{2} + μ \sum_{i, p} D_{i} u_{p} . P_{i, p} (u)$ ( $c_{1}$ function from $\bar{Ω} \times [0, T]$ , into $R, μ$ a positive constant $< 2$ ) satisfy : $t \to \int_{Ω} Φ^{2} α_{p, k} u_{p} . u_{k} d x$ is decreasing ( $Φ^{2}$ a suitable weight function). From this result, we obtain theorems of unicity and (if $N = 1$ ) others similar results, concerning only the positive or negative part of solutions. Using counter-examples, we may show that the results obtained here, cannot be “improved”.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.646

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Reynaud, Gérard. Quelques résultats sur les solutions de systèmes d'inéquations de type parabolique. Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 1, pp. 167-230. doi : 10.5802/aif.646. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.646/

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