Approximation polynomiale pondérée dans un domaine d’holomorphie de ${\bf C}^n$

Sibony, Nessim

doi:10.5802/aif.615

Approximation polynomiale pondérée dans un domaine d’holomorphie de

𝐂^{n}

Sibony, Nessim

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 2, pp. 71-99.

Résumé
Abstract

Soit $Ω$ un domaine d’holomorphie de $C^{n}$ et soit $ψ$ une fonction positive telle que pour tout $k > 0$ on ait

sup_{z \in Ω} {ψ (z), [\min dist (z, C^{n} ∖ Ω), (1 + | z |^{2})^{- 1 / 2}]^{k}} < \infty .

On note $H^{p} (Ω, ψ)$ , $1 \leq p \leq \infty$ , l’espace des fonctions $f$ holomorphes dans $Ω$ telles que $∥ f ∥_{p} = {(\int_{Ω} | f |^{p} ψ)}^{1 / p} < \infty$ . On donne des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour l’approximation des fonctions de $H^{p} (Ω, ψ)$ par des fonctions holomorphes dans un ouvert contenant $Ω$ , ou par des polynômes. On obtient comme cas particulier les résultats suivants :

a) les polynômes sont denses dans $H^{p} (Ω, \exp (- Φ))$ lorsque $Ω$ est ouvert convexe (non borné) et $Φ$ une fonction convexe dans $Ω$ ,

b) les polynômes sont denses dans $H^{p} (C^{n}, \exp (- Φ))$ , $1 \leq p \leq \infty$ , si $Φ$ est plurisousharmonique homogène d’ordre $ρ > 0$ .

Let $Ω$ be a domain of holomorphy in $C^{n}$ and let $ψ$ be a positive function in $Ω$ such that

sup_{z \in Ω} {ψ (z), [\min dist (z, C^{n} ∖ Ω), (1 + | z |^{2})^{- 1 / 2}]^{k}} < \infty

for all $k > 0$ . Let $H^{p} (Ω, ψ)$ , be the space of holomorphic function $f$ on $Ω$ such that $∥ f ∥_{p} = {(\int_{Ω} | f |^{p} ψ)}^{1 / p} < \infty$ . We study necessary and sufficient conditions for the density in $H^{p} (Ω, ψ)$ of functions holomorphic in larger open sets, or of polynomials. As application of more general results we have:

a) polynomials are dense in $H^{p} (Ω, \exp (- Φ))$ if $Ω$ is convex and $Φ$ is a convex function on $Ω$ ,

b) polynomials are dense in $H^{p} (C^{n}, \exp (- Φ))$ , if $Φ$ is plurisubharmonic and homogeneous of order $ρ > 0$ .

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DOI : 10.5802/aif.615

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Sibony, Nessim. Approximation polynomiale pondérée dans un domaine d’holomorphie de ${\bf C}^n$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 2, pp. 71-99. doi : 10.5802/aif.615. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.615/

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