Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés de groupe

Waldschmidt, Michel

doi:10.5802/aif.543

Waldschmidt, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 1, pp. 23-33.

Résumé
Abstract

Soient $G$ une variété de groupe définie sur le corps $\bar{Q}$ des nombres algébriques, et $ϕ : C^{n} \to G_{C}$ un sous-groupe à $n$ paramètres de $G$ , de dimension algébrique $d$ . Nous nous proposons de majorer le rang $ℓ$ (sur $Z$ ) des sous-groupes $Γ$ de $C^{n}$ dont l’image par $ϕ$ est contenue dans le groupe $G_{\bar{Q}}$ des points algébriques de $G$ .

E. Bombieri et S. Lang ont déjà obtenu de telles majorations, en supposant que les points de $Γ$ sont très bien distribués : pour $d \geq n + 1$ , on a $ℓ \leq n^{2} + 3 n$ pour des variétés linéaires, et $ℓ \leq 2 n^{2} + 4 n$ pour des variétés abéliennes .

Nous raffinons ces majorations en montrant que, sous les mêmes hypothèses, on a $ℓ d \leq n (ℓ + d)$ dans le cas linéaires, et $ℓ d \leq n (ℓ + 2 d)$ dans le cas abélien. Ces majorations deviennent respectivement $ℓ \leq 2 n - 1$ et $ℓ \leq 2 n$ quand on suppose de plus $Γ \subset {\bar{Q}}^{n}$ et $d \geq n + 1$ . Nous obtiendrons d’autres inégalités sous des hypothèses de répartition moins fortes.

Ces résultats sont des corollaires d’un critère arithmétique pour que des fonctions, méromorphes dans $C^{n}$ et d’ordre fini, soient algébriquement dépendantes sur $Q$ .

Let $G$ be a group variety defined over the field $\bar{Q}$ of algebraic numbers; let $ϕ : C^{n} \to G_{C}$ be a $n$ -parameter subgroup of $G$ , of algebraic dimension $d$ . We bound the rank $ℓ$ (over $Z$ ) of the subgroups $Γ$ of $C^{n}$ , such that $ϕ (Γ)$ is contained in the group $G_{\bar{Q}}$ of algebraic points of $G$ .

E. Bombieri and S. Lang gave such bounds when the points of $Γ$ are sufficiently well distributed: for $d \geq n + 1$ , one has $ℓ \leq n^{2} + 3 n$ for linear varieties, and $ℓ \leq 2 n^{2} + 4 n$ for abelian varieties.

We improve these bounds, by showing that, under the same hypothesis, one has $ℓ d \leq n (ℓ + d)$ in the linear case, and $ℓ d \leq n (ℓ + 2 d)$ in the abelian case. These bounds are replaced by $ℓ \leq 2 n - 1$ and $ℓ \leq 2 n$ respectively, when we assume, moreover, that $Γ \subset {\bar{Q}}^{n}$ and $d \geq n + 1$ . We get other inequalities with weaker distribution hypothesis.

These results are obtained as corollaries of an arithmetic criterion for the algebraic dependence of meromorphic functions in $C^{n}$ , of finite order.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.543

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Waldschmidt, Michel. Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés de groupe. Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 1, pp. 23-33. doi : 10.5802/aif.543. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.543/

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