Real algebraic actions on projective spaces - A survey

Petrie, Ted

doi:10.5802/aif.464

Petrie, Ted

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 2, pp. 135-150.

Résumé
Abstract

Soit $G$ un groupe de Lie compact. Pour toute $G$ -variété différentiable $Y$ on introduit l’ensemble $S_{G} (Y)$ des classes d’équivalence de couples $(X, f)$ où $f : X \to Y$ est une $G$ -application et une équivalence d’homotopie, deux couples $(X_{i}, f_{i})$ , $i = 0, 1$ , étant équivalents s’il existe une $G$ -équivalence d’homotopie $ϕ : X_{0} \to X_{1}$ telle que $f_{0}$ soit $G$ -homotope à $f_{1} \circ ϕ$ .

Les propriétés de l’ensemble $S_{G} (Y)$ dépendent des représentations de $G$ dans les espaces tangents à $X$ et $Y$ en les points fixes de $G$ .

Dans le cas où $G$ est $S^{1}$ , et où $Y$ est la $G$ -variété définie par une action “linéaire” de $S^{1}$ sur l’espace projectif complexe $C P^{n}$ , on exhibe un élément non trivial de $S_{S^{4}} (Y)$ en introduisant une action algébrique réelle de $S^{1}$ sur $C P^{n}$ ayant des points fixes isolés et telle que la famille des représentations de $S^{1}$ dans les espaces tangents en ces points fixes soit distincte de toute famille de représentations provenant d’une action “linéaire” de $S^{1}$ sur $C P^{n}$ .

Let $G$ be a compact lie group. We introduce the set $S_{G} (Y)$ for every smooth $G$ manifold $Y$ . It consists of equivalence classes of pair $(X, f)$ where $f : X \to Y$ is a $G$ map which defines a homotopy equivalence from $X$ to $Y$ . Two pairs $(X_{i}, f_{i})$ , for $i = 0, 1$ , are equivalent if there is a $G$ homotopy equivalence $ϕ : X_{0} \to X_{1}$ such that $f_{0}$ is $G$ homotopic to $f_{1} \circ ϕ$ .

Properties of the set $S_{G} (Y)$ and related to the representation of $G$ on the tangent spaces of $X$ and $Y$ at the fixed points. For the case $G = S^{1}$ and $Y$ is the $S^{1}$ manifold defined by a “linear” $S^{1}$ action on complex projective $n$ space $C P^{n}$ , we exhibit non-trivial elements of $S_{S^{4}} (Y)$ by discussing a real algebraic action of $S^{1}$ on $C P^{n}$ with isolated fixed points such that the collection of representations of $S^{1}$ on the tangent spaces at the isolated fixed points as distinct from the collection of representations occurring for any “linear” $S^{1}$ action on $C P^{n}$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.464

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Petrie, Ted. Real algebraic actions on projective spaces - A survey. Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 2, pp. 135-150. doi : 10.5802/aif.464. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.464/

Bibliographie
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Cité par Sources :