Theory of Bessel potentials. II

Adams, Robert; Aronszajn, Nachman; Smith, K. T.

doi:10.5802/aif.265

Adams, Robert ; Aronszajn, Nachman ; Smith, K. T.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 17 (1967) no. 2, pp. 1-135.

Résumé

Dans cette partie de la théorie des potentiels besseliens on considère les restrictions de potentiels de la classe $P^{a} (R^{n})$ aux domaines ouverts $D \subset R^{n}$ . On cherche à caractériser de manière intrinsèque la classe $P^{a} (D)$ ainsi obtenue.

On attaque ce problème en définissant de manière directe (§ 2) une classe ${\overset{ˇ}{P}}^{a} (D) \subset P^{a} (D)$ qui, pour des domaines assez réguliers, est égale à $P^{a} (D)$ .

L’égalité $P^{a} (D) = P^{a} (D)$ est équivalente à l’existence d’un opérateur-extension $E : {\overset{ˇ}{P}}^{a} (D) \to P^{a} (R^{n})$ , linéaire et continu, tel que $E u$ soit une extension de $u$ . Si un tel opérateur $E$ transforme continûment ${\overset{ˇ}{P}}^{a} (D)$ dans $P^{a} (R^{n})$ pour tous les $α$ dans un intervalle $I \subset [0, \infty)$ , on parle d’une extension simultanée rel. $I$ ; un domaine $D$ pour lequel une telle extension simultanée existe, appartient à la classe $E (I)$ . On donne, dans les paragraphes 7, 10, 11, des théorèmes déterminant des classes très générales de domaines appartenant à $E ([0, \infty))$ .

En particulier, on obtient que tous les domaines bornés, localement lipschitziens, et tous les polyhèdres $n$ -dimensionnels géométriques dont la frontière forme une variété $(n - 1)$ -dimensionnelle, appartiennent à $E ([0, \infty))$ . Pour les domaines convexes, non-bornés, on obtient des conditions géométriques simples, nécessaires et suffisantes pour qu’ils appartiennent à $E ([0, \infty))$ (§ 12).

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DOI : 10.5802/aif.265

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