Espaces variationnels et mécanique

Klein, Joseph

doi:10.5802/aif.120

Klein, Joseph

Annales de l'Institut Fourier, Tome 12 (1962), pp. 1-124.

Résumé

Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques $Σ$ non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position $x^{α}$ et de vitesse $y^{α}$ .

$V$ désignant l’espace-temps de configuration, $V$ l’espace fibré des vecteurs tangents, $W$ celui des directions tangentes à $V$ , on caractérise $Σ$ par son lagrangien homogène $L$ et le tenseur-force $S$ antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.

Dans la première partie, on étudie l’algèbre $H$ des formes semi-basiques sur $V$ ou $W$ ; on définit en particulier une antidérivation $\dot{d}$ , endomorphisme de degré 1 de $H$ , intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de $S$ -extrémale de $L$ relativement au champ tensoriel semi-basique $S$ et on considère sur $V$ une connexion linéaire de directions se ramenant pour $S = 0$ à la connexion finslérienne définie par $L$ , et dont les géodésiques sont les $S$ -extrémales de $L$ .

Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme :

Ω = d (\dot{d} L) + \frac{1}{2} S_{α β} d x^{α} \land d x^{β} .

On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes $C_{0}$ et $C_{1}$ entourant un même tube de trajectoires $T$ est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de $T$ de bord $C_{0} - C_{1}$ .

Les trajectoires de $Σ$ sont les $S$ -extrémales de $L$ (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace $S$ -finslérien.

Étude des cas où $Ω$ est fermée et où $Ω$ admet un facteur intégrant.

Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.

Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.

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DOI : 10.5802/aif.120

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Klein, Joseph. Espaces variationnels et mécanique. Annales de l'Institut Fourier, Tome 12 (1962), pp. 1-124. doi : 10.5802/aif.120. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.120/

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