Les structures tangentielles sont une généralisation des structures homologiques de l’auteur (telles que structure de $\check{\mathrm{C}}$ech, de Sitnikiv, etc.). Voir des exemples : les variétés de dimension $\ge r$ différentiablement plongées dans ${\mathbf{R}}^n$, les polyèdres de dimension $\ge r$ (rectangulaires), dans ${\mathbf{R}}^n$ les sous-espaces de dimension $\ge r$ de ${\mathbf{R}}^n$ (notés respectivement : $M_r,P_r,D_r$).

On cherche des relations purement algébriques entre les structures tangentielles.

Il existe une théorie de dualité pour les structures tangentielles : à toute structure tangentielle $P$ est associée une structure tangentielle $\tilde{P}$, telle que l’on ait :

Notre but est d’exprimer les structures tangentielles plus compliquées au moyen de structures tangentielles plus simples (au point de vue algébrique).

Pour une structure tangentielle donnée $P$ nous construirons deux nouvelles structures tangentielles : l’extension projective de $P:P^p$ et l’extension injective de $P:P^i$.

On a obtenu les théorèmes suivants :

Pour les exemples donnés plus haut, on a les relations

Des liens entre les structures différentiables et les ensembles de dimension $\ge r$ seront exposés dans un article ultérieur.