Sur quelques problèmes d'unicité et de prolongement relatifs aux fonctions approchables par des sommes d'exponentielles

Kahane, Jean-Pierre

doi:10.5802/aif.52

Kahane, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954), pp. 39-130.

Résumé

$Λ$ étant une suite de nombres complexes $λ_{j}$ $(0 < | λ_{1} | \leq | λ_{2} | ...)$ , on désigne par $ℰ_{I} (Λ)$ (resp. $ℰ_{K} (Λ))$ l’ensemble des fonctions $f (x)$ (resp. $f (z)$ ) définies sur un segment $I$ (resp. sur un compact $K$ du plan complexe) et uniformément approchables sur $I$ (resp. sur $K$ ) par des combinaisons linéaires $\sum_{1}^{N} a_{j, N} e^{i λ_{j} x} (resp . \sum_{4}^{N} a_{j, N} e^{i λ_{j} z})$ . On désigne par $ℰ (Λ)$ l’ensemble des fonctions continues) sur la droite dont les restrictions à tout segment $I$ appartiennent à $ℰ_{I} (Λ)$ , par $ℰ_{Ω} (P)$ l’ensemble des fonctions (holomorphes) sur un ouvert $Ω$ du plan complexe dont les restrictions à tout compact $K \subset Ω$ appartiennent à $ℰ_{K} (Λ)$ .

Le chapitre I débute par un exposé rapide des principales propriétés de $ℰ (Λ)$ , à partir des “transformées de Fourier-Carleman” des fonctions moyenne-périodiques de L. Schwartz. Il est ensuite consacré aux problèmes de l’unicité d’une fonction de $ℰ (Λ)$ définie par ses valeurs sur un segment (1), ou par ses valeurs approchées au voisinage d’un point (2), ou par les valeurs de ses dérivées successives en un point (3), et du prolongement d’une fonction de $ℰ_{I} (Λ)$ en une fonction de $ℰ (Λ)$ (4). Chacun de ces problèmes est justiciable de différentes méthodes, qui fournissent des résultats faisant intervenir diverses fonctions, ou quantités, attachées à $Λ$ . Ainsi, dans la solution du problème (1) intervient la densité minimum de $Λ$ , tandis que dans les solutions données au problème (4) interviennent la densité maximum et la “densité de répartition”. Les solutions aux problèmes (2) et (3) font intervenir la rareté, ou la lacunarité de $Λ$ , soit dans le plan, soit sur la droite réelle, soit sur une demi-droite. À titre d’exemple, voici un résultat obtenu : pour que les relations $f \in ℰ (Λ)$ , $f^{(n)} (0) = 0$ , $\max | f^{(n)} (x) | < ℳ_{n}$ $(n = 0, 1, ...)$ entraînent $f \equiv 0$ , il suffit que ${lim}_{n \to \infty} \frac{M_{n}}{| λ_{1} ... λ_{n + 1} |} = 0$ ; si $Λ$ est assez rare, cette condition est nécessaire.

Au début du chapitre II sont examinés quelques problèmes généraux concernant $ℰ_{Ω} (Λ)$ ; par exemple, la recherche des conditions nécessaires et de conditions suffisantes pour que $ℰ_{Ω} (Λ)$ contienne toutes les fonctions holomorphes dans $Ω$ . L’essentiel du chapitre traite du problème de prolongement suivant : $Ω$ et $Λ$ étant donnés, trouver un ouvert $G \supset Ω$ tel que toute fonction de $ℰ_{Ω} (Λ)$ soit prolongeable en une fonction de $ℰ_{G} (Λ)$ ; un principe de prolongement très simple permet, en résolvant ce problème, d’obtenir très rapidement des indications sur les singularités des séries de Dirichlet, des fonctions presque-périodiques, des fonctions moyenne-périodiques analytiques. Les résultats font en général intervenir soit la densité maximum, soit la densité moyenne supérieure de $Λ$ . Exemple : si $Λ$ est symétrique réelle, et a pour densité maximum $D$ , si $Ω$ est connexe et contient un segment $[a - i π D, a + i π D]$ , toute fonction de $ℰ_{Ω} (Λ)$ est prolongeable dans une bande verticale $B$ en une fonction presque périodique) de $ℰ_{B} (Λ)$ , chaque segment de longueur $2 π D$ porté par la frontière de $B$ contenant au moins un point singulier.

Les problèmes examinés au chapitre III sont, a priori, très différents des précédents. D’une part sont étudiées les questions de la théorie des fonctions d’une variable complexe auxquelles mènent les méthodes employées au chapitre I : extension d’un théorème de Mandelbrojt. Mac Lane sur les fonctions holomorphes dans une bande ; relation entre la croissance du module et la répartition des zéros et des pôles d’une fonction holomorphe dans un demi-plan. D’autre part, les techniques introduites sont appliquées à quelques problèmes d’approximation et d’unicité dans le champ réel (problèmes généralisés des moments, de l’approximation polynomiale, de la quasi-analyticité) ; les résultats, difficiles à exprimer sont proches de ceux obtenus par M. Mandelbrojt à l’aide de son inégalité fondamentale. Ce chapitre se termine avec la définition de nouvelles classes quasi-analytiques, en réponse à un problème qui généralise le problème (3) du chapitre I.

MR Zbl | 18 citations dans Numdam

DOI : 10.5802/aif.52

@article{AIF_1954__5__39_0,
     author = {Kahane, Jean-Pierre},
     title = {Sur quelques probl\`emes d'unicit\'e et de prolongement relatifs aux fonctions approchables par des sommes d'exponentielles},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {39--130},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {5},
     year = {1954},
     doi = {10.5802/aif.52},
     mrnumber = {17,732b},
     zbl = {0064.35903},
     language = {fr},
     url = {https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.52/}
}

TY  - JOUR
AU  - Kahane, Jean-Pierre
TI  - Sur quelques problèmes d'unicité et de prolongement relatifs aux fonctions approchables par des sommes d'exponentielles
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1954
SP  - 39
EP  - 130
VL  - 5
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.52/
DO  - 10.5802/aif.52
LA  - fr
ID  - AIF_1954__5__39_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Kahane, Jean-Pierre
%T Sur quelques problèmes d'unicité et de prolongement relatifs aux fonctions approchables par des sommes d'exponentielles
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1954
%P 39-130
%V 5
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.52/
%R 10.5802/aif.52
%G fr
%F AIF_1954__5__39_0

Kahane, Jean-Pierre. Sur quelques problèmes d'unicité et de prolongement relatifs aux fonctions approchables par des sommes d'exponentielles. Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954), pp. 39-130. doi : 10.5802/aif.52. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.52/

Bibliographie
Cité par

[1] S. Agmon: Sur deux théorèmes de M. S. Mandelbrojt, C. R. Ac. Sc., 228 (1949), pp. 1835-1837. | MR | Zbl

[2] V. Bernstein: Leçons sur les progrès récents de la théorie des séries de Dirichlet, Gauthier-Villars, Paris, 1933. | JFM | Zbl

[3] A. Beurling: Sur une classe de fonctions presque-périodiques, C. R. Ac. Sc., 225 (1947), pp. 326-328.

[4] R. P. Boas: On a generalization of the Stieltjes moment problem, Trans. Amer. Math. Soc., 46 (1939), pp. 142-150. | JFM | MR | Zbl

[5] T. Carleman: L'intégrale de Fourier et questions qui s'y rattachent, Uppsala, 1944. | Zbl

[6] H. Cartan: Sur les systèmes de fonctions holomorphes..., Annales E. N. S., 45 (1928), pp. 255-346. | JFM | Numdam

[7] R. E. Edwards: On derivative and translational bases for periodic functions, Proc. Amer. Math. Soc., 2 (1951), pp. 644-653. | MR | Zbl

[7 bis] W. H. J. Fuchs: A generalization of Carlson's theorem, J. London Math. Soc., 21 (1946), pp. 106-110. | MR | Zbl

[8] W. H. J. Fuchs: On a generalization of the Stieltjes moment problem, Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), pp. 1057-1059. | MR | Zbl

[9] I. I. Hirschman et J. A. Jenkins: Note on a result of Levine and Lifschitz, Proc. Amer. Math. Soc., 1 (1950), pp. 390-393. | MR | Zbl

[10] J. P. Kahane: Extension du théorème de Carlson et applications, C. R. Ac. Sc., 234 (1952), pp. 2038-2040. | MR | Zbl

[11] J. P. Kahane: Quasi-analyticité des fonctions moyenne-périodiques, C. R. Ac. Sc., 236 (1953), pp. 569-571. | MR | Zbl

[12] J. P. Kahanë et P. Lalaguë: Quasi-analyticité des fonctions sommes de séries de Fourier lacunaires, C. R. Ac. Sc., 230 (1950), pp. 2250-2252. | MR | Zbl

[13] P. Lalaguë: Classes de fonctions indéfiniment dérivables, sommes de séries de Fourier lacunaires, C. R. Ac. Sc., 236 (1953), pp. 887-889. | MR | Zbl

[14] P. Lalaguë: Classes de fonctions indéfiniment dérivables presque-périodiques de spectre donné, C. R. Ac. Sc., 236 (1953), pp. 2473-2474. | MR | Zbl

[15] A. F. Léontiev: Séries de polynômes de Dirichlet et leurs généralisations (en russe), Troudi de l'Inst. Steklov, 39, Moscou, 1951. | Zbl

[16] B. Lévine: Fonctions de degré fini, bornées sur une suite de points, (en russe), Dokladi A. N.-S.S.S.R., 65 (1949), p. 265.

[17] B. Lévine: Sur les fonctions définies par leurs valeurs sur un certain intervalle (en russe), Dokladi A. N.-S.S.S.R., 70 (1949), pp. 757-60.

[18] B. Lévine: Sur la quasi-analyticité des classes de fonctions presque-périodiques (en russe), Dokladi A. N.-S.S.S.R., 70 (1950), pp. 949-952.

[19] B. Lévine et M. Lifschitz: Quasi-analyticité des classes de fonctions représentables par des séries de Fourier (en russe) Mat. Sbornik, 9, 3 (1941), pp. 694-709. | Zbl

[20] N. Levinson: Gap and density theorems, Colloquium, New-York, 1940. | JFM | Zbl

[21] E. Lindelöf: Sur les fonctions entières d'ordre entier, Annales E. N. S., 22 (1905), pp. 369-395. | EuDML | JFM | Numdam

[22] S. Mandelbrojt: Séries de Fourier et classes quasi-analytiques de fonctions, Gauthier-Villars, Paris, 1935. | JFM | Zbl

[23] S. Mandelbrojt: Dirichlet Series, The Rice Institute Pamphlet, 1944. | MR | Zbl

[24] S. Mandelbrojt: Théorèmes d'unicité, Annales E. N. S., 65 (1948), pp. 101-138. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[25] S. Mandelbrojt: Séries adhérentes. Régularisation des suites. Applications. Gauthier-Villars, Paris, 1952. | MR | Zbl

[26] S. Mandelbrojt: Un théorème de fermeture, C. R. Ac. Sc., 231 (1950), pp. 16-18. | MR | Zbl

[27] S. Mandelbrojt: Théorèmes généraux de fermeture, Journal d'analyse mathématique, Jérusalem, 1 (1951), pp. 180-208. | MR | Zbl

[28] S. Mandelbrojt: Quelques nouveaux théorèmes de fermeture, Ann. Soc. Polon. Math., 25 (1952), pp. 241-251. | MR | Zbl

[29] S. Mandelbrojt et Mac-Lane: On functions holomorphic in a strip region, and an extension of Watson's problem, Trans. Amer. Math. Soc., 61 (1947), p. 454. | MR | Zbl

[29 bis] S. Mandelbrojt et F. E. Ulrich: On a generalization of the problem of quasi-analyticity, Trans. Amer. Math. Soc., 52 (1942) pp. 265-282. | MR | Zbl

[29 ter] P. Montel: Leçons sur les séries de polynômes, Gauthier-Villars, Paris, 1910. | JFM

[30] R. E. A. C. Paley et N. Wiener: Fourier transforms in the complex domain, Colloquium, New-York, 1934. | JFM | Zbl

[31] G. Polya: Eine Verallgemeinerung der Fabryschen Lückensatzes. Göttinger Nachr., 1927, pp. 187-195. | EuDML | JFM

[31 bis] G. Polya: Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzreihen, Math. Zeitschrift, 29 (1929), pp. 549-624. | EuDML | JFM

[32] J. F. Ritt: On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients, Trans. Amer. Math. Soc., 18 (1917), pp. 27-49. | JFM

[33] L. Schwartz: Approximation d'une fonction quelconque par des sommes d'exponentionnelles imaginaires, Ann. Toulouse 6 (1942) pp. 111-174. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[34] L. Schwartz: Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques, Annals of Math. 48 (1947), pp. 857-929. | MR | Zbl

[35] G. Valiron: Sur les solutions des équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre infini, Annales E. N. S., 46 (1929). pp. 26-53. | EuDML | JFM | Numdam

Cité par Sources :