Sur l’ensemble singulier et l’ensemble de concentration d’énergie de Navier – Stokes

Craig, Walter

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2009-2010), Exposé no. 8, 11 p.

Les travaux bien connus de Caffarelli, Kohn & Nirenberg [6] (1982) sur la régularité partielle des solutions faibles “convenables” $u(x,t)$ des équations de Navier-Stokes en dimension $3$ donnent une borne supérieure sur la mesure de l’ensemble singulier $S\left(u\right)$ de ces solutions. Nous présentons ici des estimations globales nouvelles pour les solutions faibles, donnant des informations sur la continuité dans $L^2$ de ces solutions. En particulier, un résultat microlocal de type géométrique donne une borne inférieure, complémentaire de celle de [6], sur l’ensemble de concentration d’énergie $S^{L^2}\left(u\right)$, ou plutôt sur son analogue microlocal $W{F}^{L^2}\left(u\right)\subseteq T^{*}\left({ℝ}^3\right)$. Cette borne implique, dans le cas où l’ensemble $W{F}^{L^2}\left(u\right)$ n’est pas vide, qu’il ne peut pas être “trop petit”.

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