Modulation invariant and multilinear singular integral operators
[Invariants par modulation et opérateurs intégraux singuliers multilinéaires]
Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966, Astérisque, no. 311 (2007), Exposé no. 962, pp. 295-320.

Dans une série de textes débutant dans les années 1990, Michael Lacey et Christoph Thiele ont résolu une conjecture ancienne de Calderón concernant certains opérateurs intégraux très singuliers et donné une preuve lumineuse du théorème de Carleson sur la convergence presque partout des séries de Fourier, résultats qui ont connu depuis de nombreux développements. La marque de fabrique de ces problèmes est la multilinéarité par opposition avec la simple linéarité, et l’invariance par modulation, ce dernier terme étant utilisé pour la multiplication par un caractère exp(ixξ). Je ferai un bref survol du contexte conceptuel de ces problèmes, en décrivant les points clefs qui fournissent la base structurelle de cette approche, puis je donnerai un esquisse de preuve, et si le temps le permet, je mentionnerai des problèmes ouverts. Je tenterai de donner un portrait fidèle de ce travail sans toutefois rentrer dans les détails techniques.

In a series of papers beginning in the late 1990s, Michael Lacey and Christoph Thiele have resolved a longstanding conjecture of Calderón regarding certain very singular integral operators, given a transparent proof of Carleson’s theorem on the almost everywhere convergence of Fourier series, and initiated a slew of further developments. The hallmarks of these problems are multilinearity as opposed to mere linearity, and especially modulation symmetry. By modulation is meant multiplication by characters exp(ixξ). I will briefly review some of the conceptual backdrop to these problems, discuss the key concepts which provide the structural basis for the analysis, sketch a proof, and if time permits, mention related unsolved problems. I will attempt to convey an accurate sense of the work, without presenting full details.

Classification : 42B20, 42A20, 42B25
Keywords: opérateurs d'intégrale singulière, transformée de Hilbert, opérateurs multilinéaires, invariance par modulation, presque orthogonalité, décomposition de l'espace des phases, coefficients de Fourier localisés, opérateur maximal de somme partielle
Mot clés : singular integral operators, Hilbert transform, multilinear operators, modulation invariance, almost orthogonality, phase space decomposition, localized Fourier coefficients, maximal partial sum operator 
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