Double pondération pour calculer une moyenne : pourquoi et comment ?

Roy, Bernard

RAIRO - Operations Research - Recherche Opérationnelle, Tome 41 (2007) no. 2, pp. 125-139.

L’opérateur de moyenne pondérée est très souvent utilisé pour définir une valeur $v\left(a\right)$ à des entités $a$ à partir de performances $x_j\left(a\right)$, $j=1,...,n$. Cet opérateur fait intervenir des poids spécifiques $w_j$ comme multiplicateurs de la performance relative à la $j^{\text{e}}$ composante. Ceci induit des possibilités de compensation des mauvaises performances par les meilleures qui peuvent être jugées inacceptables dans certains contextes concrets. En vue d’atténuer ces possibilités de compensation, on peut faire intervenir une seconde pondération à l’aide de poids de rang $q_r$ qui affectent le rôle que joue, dans la définition de $v\left(a\right)$, la performance $x_j\left(a\right)$ en fonction du rang $r$ qu’elle occupe dans un rangement des meilleures valeurs aux moins bonnes. Je commencerai par décrire trois exemples issus de contextes réels dans lesquels cette double pondération est nécessaire. Ensuite, je présenterai successivement un premier opérateur que j’ai introduit en 1996 sous le nom de moyenne ordonnée doublement pondérée (MO2P) et un second, proposé en 1997 par Torra [Int. J. Intell. Syst. 12 (1997) 153-166.] «weighted ordered weighted average» (WOWA). Ces deux opérateurs n’étant signifiants que si les performances $x_j\left(a\right)$ se situent sur une même échelle d’intervalle $E$, je terminerai en proposant un autre type d’opérateur pouvant convenir lorsque $E$ est une échelle purement ordinale.

The weighted average operator is often used to assign a value $v\left(a\right)$ to entities $a$ from performances $x_j\left(a\right)$, $j$=1,...,$n$. This operator makes intervene specific weights $w_j$ as multipliers of the performance relative to the $j$th component. This induces possibilities of compensation of the worst performances by the better ones. Such compensation can be judged as unacceptable in some concrete contexts. So as to soften these possibilities of compensation, we can make intervene a second weighting using weights of rank $q_r$. The new weights modify the role which plays, in the definition of $v\left(a\right)$, the performance $x_j\left(a\right)$ according to rank $r$ it has in a ranking from the best values to the worst ones. I will start by describing three examples coming from real contexts in which this double weighting is useful. Then, I will successively present a first operation I have introduced in 1990, namely “moyenne ordonnée doublement pondérée (MO2P)”, and a second one proposed in 1997 by Torra, namely “weighted ordered weighted average (WOWA)”. These two operators being significant only if the performances $x_j\left(a\right)$ are situated on a same interval scale $E$, I will end by suggesting a new type of operator likely to be suitable when $E$ is a purely ordinal scale.

Classification : 9008
Mots clés : moyenne pondérée, poids de rangs, intégrale de Choquet, weighted ordered weighted average (WOWA), agrégation multicritère

[1] J.M. Martel et B. Roy, Analyse de la signifiance de diverses procédures d'agrégation multicritère, INFOR Vol. 44, No. 3 (2006) 191-205 (voir aussi Annales du LAMSADE (2002) 225-260).

[2] V. Mousseau, B. Roy et I. Sommerlatt, Rapport pour le Syndicat des Transports Parisiens : Architecture d'un outil d'aide à la décision pour le choix de zonages tarifaires, juillet 1996.

[3] V. Mousseau, B. Roy et I. Sommerlatt, Elaboration d'un outil d'aide à la décision en vue de l'évolution de la tarification des transports publics en Ile de France. J. Decision Syst. 9 (2000) 289-315.

[4] T. Phan, Etude de modèles de satisfaction non totalement compensatoires, Mémoire de DEA “Méthodes Scientifiques de Gestion”, Université Paris-Dauphine (2004).

[5] J.P. Richou, Méthode de la moyenne ordonnée pondérée, mesure des préférences, Université Paris-Dauphine, Mémoire de DEA “Méthodes Scientifiques de Gestion” (1997).

[6] B. Roy, Les logiques compensatoires et les autres, Université Paris-Dauphine, Note de Recherche LAMSADE No. 16 (1996).

[7] B. Roy, Double pondération pour calculer une moyenne : Pourquoi et comment ?, Université Paris-Dauphine, Note de Recherche No. 37 (2005).

[8] T.J. Tanzi, B. Roy, M. Flages et D. Voncken, Indicateurs de dangerosité appliqués aux transports collectifs, in Actes du 12e Colloque National de Sûreté de Fonctionnement, Montpellier, France, 28-30 mars (2000) 703-708.

[9] V. Torra, The weighted OWA operator, Int. J. Intell. Syst. 12 (1997) 153-166. | Zbl

[10] V. Torra, On some relationships between the WOWA operator and the Choquet integral, in Proceedings of the Seventh Conference on Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems, Paris, France (1998) 818-824.

[11] V. Torra, The WOWA operator and the interpolation function : Chen and Otto's interpolation method revisited. Fuzzy Sets and Systems 113 (2000) 389-396.

[12] V. Torra, On some aggregation operators for numerical information, in Information Fusion in Data Mining, Studies in Fuzziness and Soft Computing, Volume 123 edited by V. Torra. Springer-Verlag, Heidelberg (2003). | Zbl

[13] R.R. Yager, On ordered weighted averaging aggregation operators in multi-criteria decision making, IEEE Trans. Syst. Man Cybern. 18 (1988) 183-190. | Zbl

[14] R.R. Yager, Families of OWA operators, Fuzzy Sets Syst. 59 (1993) 125-148. | Zbl