Self-portraits with Évariste Galois (and the shadow of Camille Jordan)

Brechenmacher, Frédéric

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 17 (2011) no. 2, pp. 273-371.

Cet article questionne les dimensions collectives des relations entre les travaux de Galois et Jordan au xixe siècle. Avant les années 1890 et le développement de disciplines centrées sur des objets, les références à Galois se répartissaient majoritairement au sein de trois réseaux de textes centrés sur des travaux d’individus : Klein, Kronecker et Dickson. Bien que ces réseaux n’aient été chacun essentiellement actif que sur le temps court d’une décennie, tous s’appuyaient sur des références spécifiques à Galois qui impliquaient le temps long du xixe siècle. En envisageant de telles références comme des autoportraits de mathématiciens et de leurs mathématiques, cet article porte un nouvel éclairage sur les travaux de Galois et leurs circulations. Il montre notamment l’importance du rôle joué sur le temps long par des pratiques de réductions prenant modèle sur la représentation analytique de la décomposition des substitutions linéaires en deux formes d’actions des cycles. En complément de l’étude locale de ces trois réseaux, cet article propose également une analyse à un niveau plus global. Contrairement à ce qui était devenu au xxe siècle un lieu commun de l’historiographie de l’algèbre, et à l’exception du domaine de l’enseignement de l’Algèbre supérieure, les travaux de Galois ont pendant longtemps été envisagés collectivement dans des cadres différents de ceux de la théorie des équations ou de la théorie des substitutions. A l’échelle d’un demi-siècle en Europe, ces travaux ont été effectivement largement commentés dans le cadre du problème de la « classification et la transformation » des « irrationnelles ». Pendant une large partie du xixe siècle, ce problème impliquait notamment les fonctions elliptiques et abéliennes—et par conséquent l’analyse complexe. L’impossibilité de résoudre par radicaux des équations algébriques générales de degré supérieur ou égal à cinq démontrait en effet la nécessité de caractériser la nature spéciale des grandeurs ou fonctions irrationnelles définies par des équations aussi bien algébriques que différentielles.

This paper investigates the collections of 19th century texts in which Evariste Galois’s works were referred to in connection to those of Camille Jordan. Before the 1890s, when object-oriented disciplines developed, most of the papers referring to Galois have underlying them three main networks of texts. These groups of texts were revolving around the works of individuals: Kronecker, Klein, and Dickson. Even though they were mainly active for short periods of no more than a decade, the three networks were based in turn on specific references to the works of Galois that occurred in the course of the 19th century. By questioning how mathematicians were portraying themselves and their mathematics through their references to Galois, this paper therefore sheds new light on some collective interpretations of Galois’s works. It especially highlights the important role played in the long term legacy of Galois by some practices of reduction modeled on the analytic representation of the decomposition of linear substitutions into two forms of actions of cycles. Complementary to the local study of these networks, the article proposes a more global analysis. Galois’s works were often related to the problem of the “classification and transformation” of the “irrationals.” Contrary to what has become, in the 20th century, a commonplace of the historiography of algebra, and distinct from the teaching of courses in Algèbre supérieure, Galois’s works were fitted into classifications of mathematical knowledge neither under the heading of the theory of equations nor as part of the theory of substitutions. For most of the 19th century, the problem of the irrationals involved elliptic (or abelian) functions (and therefore complex analysis). The impossibility of solving general algebraic equations of degree greater than four by radicals highlighted the necessity of characterizing the special nature of the irrational quantities and functions defined by both algebraic and differential equations.

Classification : 01A55, 01A85
Keywords: Galois, Jordan, Hermite, Kronecker, Klein, Dickson, Moore, Traité des substitutions, networks of texts, history of algebra, history of number theory, linear groups, cyclotomy, substitutions, group theory, equations, finite fields, Galois fields
Mot clés : Galois, Jordan, Hermite, Kronecker, Klein, Dickson, Moore, Traité des substitutions, réseaux de textes, histoire de l’algèbre, histoire de la théorie des nombres, groups linéaires, cyclotomie, substitutions, théorie des groupes, equations, corps finis

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