Charles Hermite’s stroll through the Galois Fields

Goldstein, Catherine

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 17 (2011) no. 2, pp. 211-270.

Bien que tout semble les opposer, Charles Hermite a joué un rôle important dans l’étude et la diffusion des travaux d’Évariste Galois en France au milieu du XIXe siècle. Cet article étudie les travaux d’Hermite en lien direct avec ceux de Galois, en particulier sur la réduction des équations modulaires. Il montre comment les convictions mathématiques d’Hermite, sur la nécessité de calculs effectifs et sur l’unité de l’algèbre avec l’analyse et l’arithmétique, ont modelé son interprétation de Galois et des pistes ouvertes par celui-ci. Réciproquement, Hermite a inséré les résultats de Galois dans une vaste synthèse appuyée sur la théorie des invariants et les fonctions elliptiques dont la théorie de Galois usuelle a mutilé la mémoire. La fin de l’article revient sur les problèmes méthodologiques ainsi soulevés dans l’interprétation des travaux de Galois et de leur postérité.

Although everything seems to oppose the two mathematicians, Charles Hermite’s role was crucial in the study and diffusion of Évariste Galois’s results in France during the second half of the nineteenth century. The present article examines that part of Hermite’s work explicitly linked to Galois, the reduction of modular equations in particular. It shows how Hermite’s mathematical convictions—concerning effectiveness or the unity of algebra, analysis and arithmetic—shaped his interpretation of Galois and of the paths of development Galois opened. Reciprocally, Hermite inserted Galois’s results in a vast synthesis based on invariant theory and elliptic functions, the memory of which is in great part missing in current Galois theory. At the end of the article, we discuss some methodological issues this raises in the interpretation of Galois’s works and their posterity.

Classification : 01A55, 01A85, 11-03, 11A55, 11F03, 12-03, 13-03, 20-03
Keywords: Charles Hermite, Évariste Galois, continued fractions, quintic, modular equation, history of the theory of equations, arithmetic algebraic analysis, monodromy group, effectivity
Mot clés : Charles Hermite, Évariste Galois, fractions continues, quintique, équation modulaire, histoire de la théorie des équations, analyse algébrique arithmétique, groupe de monodromie, effectivité

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