Friedrich Schur (1856-1932) a accompli d’importantes recherches sur les fondements de la géométrie à la même époque que Hilbert. Elles ont trouvé leur aboutissement dans un livre publié en 1909 et intitulé, comme celui de Hilbert, Grundlagen der Geometrie. La construction axiomatique exposée par Schur est originale et différente de celle de Hilbert. Elle trouve son origine dans les travaux de Pasch et Peano. Elle prend comme point de départ la géométrie projective et accorde une place centrale à la notion de déplacement. Elle repousse le plus loin possible l’utilisation de l’axiome d’Archimède et permet de fonder simultanément plusieurs géométries. L’article retrace d’abord la genèse des recherches de Schur. Il présente ensuite en détail les différentes étapes de sa construction axiomatique. Il essaie enfin d’expliquer pourquoi le livre de Schur est aujourd’hui presque oublié alors que celui de Hilbert est toujours étudié.
Friedrich Schur (1856-1932) carried out important research on the foundations of geometry in the same period as Hilbert. Schur’s conclusions were published in 1909 in a book entitled, as Hilbert’s, Grundlagen der Geometrie. The axiomatic construction exposed by Schur is original and different from Hilbert’s. Its roots lie in projective geometry and it gives an essential place to the notion of displacement. As far as possible it avoids the use of the postulate of Archimedes and allows a simultaneous foundation of several geometries. This paper first gives an account of the genesis of Schur’s research. It then presents in detail the different steps of his axiomatic construction. Finally it tries to explain why today Schur’s book is nearly forgotten while Hilbert’s is still studied.
Mot clés : Friedrich Schur, David Hilbert, géométrie projective, géométrie non euclidienne, fondements de la géométrie
Keywords: Friedrich Schur, David Hilbert, projective geometry, non euclidean geometry, foundations of geometry
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Voelke, Jean-Daniel. Les fondements de la géométrie selon Friedrich Schur. Revue d'histoire des mathématiques, Tome 16 (2010) no. 2, pp. 225-294. http://www.numdam.org/item/RHM_2010__16_2_217_0/
[Bachmann 1959] – Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, 1959 ; 2e édition, ibidem, 1973. | Zbl
[Bolyai 1832] – Appendix, scientiam spatii absolute veram exhibens, Maros-Vásárhely : J. et S. Kali, 1832. | JFM
[Bonola 1905] – I teoremi del padre Gerolamo Saccheri sulla somma degli angoli di un triangolo e le ricerche di M. Dehn, Rendiconti Istituto Lombardo di Milano, 38 (1905), p. 650–662. | JFM
[Cantor 1991] – Briefe, Springer, 1991. | DOI | Zbl
[Cerroni 2007] – The contributions of Hilbert and Dehn to non-Archimedean geometries and their impact on the Italian school, Revue d’histoire des mathématiques, 13 (2007), p. 259–299. | EuDML | Numdam | MR | Zbl
[Châtelet 1910] – Compte rendu des Grundlagen der Geometrie de Schur, Bulletin des sciences mathématiques, 34 (1910), p. 68–72.
[Cremona 1873] – Elementi di geometria projettiva, Roma : Paravia, 1873 ; traduction française de Ed. Dewulf, Gauthier-Villars, Paris, 1875.
[Dehn 1900] – Sätze über die Winkelsumme im Dreieck, Mathematische Annalen, 53 (1900), p. 404–439. | EuDML | JFM | MR
[Engel 1898a] – . Zwei geometrische Abhandlungen, aus dem Russischen übersetzt, mit Anmerkungen und mit einer Biographie des Verfassers, Leipzig : Teubner, 1898. | JFM
[Engel 1898b] – Die Construction der Parallelen in der nicht-euklidischen Geometrie, Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, 50 (1898), p. 181–187. | JFM
[Engel 1935] – , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 45 (1935), p. 1–31. | JFM
[Fladt 1957] – Zum hundersten Geburtstage von Friedrich Schur, Mathematisch-Physikalische Semesterberichte von Göttingen, 5 (1957), p. 182–185. | MR | Zbl
[Hallett & Majer 2004] & , éd. – David Hilbert’s Lectures on the Foundations of Geometry, 1891–1902, Springer, 2004. | MR | Zbl
[Hartshorne 2000] – Geometry : Euclid and Beyond, Springer, 2000. | DOI | MR | Zbl
[Henke 2010] – Der Bewegungsbegriff in der neueren Geometrie und seine Adaption im elementaren Geometrieunterricht, Hamburg : Verlag Dr. Kovač, 2010. | Zbl
[Hessenberg 1905a] – Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen, Mathematische Annalen, 61 (1905), p. 161–172. | EuDML | JFM | MR
[Hessenberg 1905b] – Neue Begründung der Sphärik, Sitzungsberichte der Berliner mathematischen Gesellschaft, 4 (1905), p. 69–77. | JFM
[Hessenberg & Diller 1967] & – Grundlagen der Geometrie, Berlin : Walter de Gruyter, 1967.
[Hilbert 1899] – Grundlagen der Geometrie, Leipzig : Teubner, 1899 ; traduction française de la 10e édition par P. Rossier accompagnée d’un commentaire, Dunod, Paris, 1971. | Zbl
[Hilbert 1902] – Über die Grundlagen der Geometrie, Mathematische Annalen, 56 (1902), p. 381–422. | EuDML | JFM | MR
[Hilbert 1903] – Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskijschen Geometrie, Mathematische Annalen, 57 (1903), p. 137–150. | EuDML | JFM | MR
[Hjelmslev 1907] – Neue Begründung der ebenen Geometrie, Mathematische Annalen, 64 (1907), p. 449–474. | EuDML | JFM | MR
[Ingrami 1899] – Elementi di geometria per le scuole secondarie superiori, Bologna : G. Cenerelli, 1899.
[Karzel & Kroll 1988] & – Geschichte der Geometrie seit Hilbert, Darmstadt : Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1988. | MR | Zbl
[Killing 1893] – Einführung in die Grundlagen der Geometrie, vol.1, Paderborn : F. Schöningh, 1893 ; vol. 2, 1898. | JFM
[Klein 1871] – Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, Mathematische Annalen, 4 (1871), p. 573–625 ; Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Berlin, 1921, vol. 1, pp. 254-305. | EuDML | JFM
[Klein 1873] – Über die sogennante Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz), Mathematische Annalen, 6 (1873), p. 112–145 ; Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Berlin, 1921, vol. 1, pp. 311-342. | EuDML | JFM | MR
[Kommerell 1909] – Compte rendu de Grundlagen der Geometrie de Schur, Archiv der Mathematik und Physik, 16 (1909), p. 62–65.
[Lambert 1786] – Theorie der Parallellinien, Magazin für reine und angewandte Mathematik, 1786 ; réédition dans Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss de P. Stäckel et F. Engel, Teubner, Leipzig, 1895, pp. 139-208. | EuDML
[Levi 1910] – Compte rendu de Grundlagen der Geometrie de Schur, Bollettino di bibliographia e storia delle scienze matematiche, 12 (1910), p. 36–43.
[Lie 1893] – Theorie der Transformationsgruppen, vol. III, Leipzig : Teubner, 1893. | JFM
[Lindemann 1891] – Vorlesungen über Geometrie unter besonderer Benutzung der Vorträge von Alfred Clebsch, zweiten Bandes erster Theil, Leipzig : Teubner, 1891. | JFM
[Lobatchevski 1835] – Nouveaux principes de la géométrie avec une théorie complète des parallèles (en russe), Publications scientifiques de l’Université de Kazan, III (1835), p. 3–48 ; 1836, II, pp. 3-98, 1836, III, pp. 3-50, 1837, I, pp. 3-97, 1838, I, pp. 3-124, 1838, III, pp. 3-65 ; traduction allemande dans [Engel 1898a]. | JFM
[Moore 1902] – On the projective axioms of geometry, Transactions of the American Mathematical Society, 3 (1902), p. 142–158 ; errata, ibidem, p. 501. | JFM | MR
[Nabonnand 2008] – La théorie des Würfe de von Staudt - Une irruption de l’algèbre dans la géométrie pure, Archive for History of Exact Sciences, 62 (2008), p. 201–242. | MR | Zbl
[Pasch 1882] – Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig : Teubner, 1882 ; 2e édition suivie d’un supplément de M. Dehn, Springer, Berlin, 1926. | JFM | Zbl
[Pasch 1888] – Ueber die uneigentlichen Geraden und Ebenen, Mathematische Annalen, 32 (1888), p. 158–159. | EuDML | JFM | MR
[Peano 1889] – I principii di geometria logicamente esposti, Torino : Fratelli Bocca, 1889 ; Opere scelte, Edizioni Cremonese, Roma, 1958, vol. 2, pp. 56-91. | JFM
[Peano 1894] – Sui fondamenti della geometria, Rivista di matematica, 4 (1894), p. 51–90 ; Opere scelte, Edizioni Cremonese, Roma, 1959, vol. 3, pp. 116-157. | JFM
[Pejas 1961] – Die Modelle des Hilbertschen Axiomensystems der absoluten Geometrie, Mathematische Annalen, 143 (1961), p. 212–235. | EuDML | MR | Zbl
[Rédei 1968] – Foundations of euclidean and non-euclidean Geometries according to F. Klein, Pergamon Press, 1968. | MR | Zbl
[Reyes y Prosper 1888] – Sur les propriétés graphiques des figures centriques, Mathematische Annalen, 32 (1888), p. 157–158. | EuDML | JFM | MR
[Schönbeck 1986] – , der Begründer der Spiegelungsgeometrie, Jahrbuch Überblicke Mathematik, 19 (1986), p. 81–104. | Zbl
[Schur 1881] – Ueber den Fundamentalsatz der projectivischen Geometrie, Mathematische Annalen, 18 (1881), p. 252–254. | EuDML | JFM | MR
[Schur 1891] – Ueber die Einführung der sogenannten idealen Elemente in die projective Geometrie, Mathematische Annalen, 39 (1891), p. 113–124. | EuDML | JFM | MR
[Schur 1892] – Ueber den Flächeninhalt geradlinig begrenzter ebener Figuren, Sitzungsberichte der Naturforscher-Gesellschaft bei der Universität Jurjew (Dorpat), 10 (1892), p. 2–6.
[Schur 1898a] – Über den Fundamentalsatz der projectiven Geometrie, Mathematische Annalen, 51 (1898), p. 401–409. | EuDML | JFM | MR
[Schur 1898b] – Lehrbuch der analytischen Geometrie, Leipzig : Veit, 1898 ; 2e édition ibidem, 1912. | JFM
[Schur 1901] – Über die Grundlagen der Geometrie, Mathematische Annalen, 55 (1901), p. 265–292. | EuDML | JFM | MR
[Schur 1903] – Zur Proportionslehre, Mathematische Annalen, 57 (1903), p. 205–208. | EuDML | JFM | MR
[Schur 1904] – Zur Bolyai-Lobatschefskijschen Geometrie, Mathematische Annalen, 59 (1904), p. 314–320. | EuDML | JFM | MR
[Schur 1909] – Grundlagen der Geometrie, Leipzig : Teubner, 1909. | JFM
[Staudt 1847] – Geometrie der Lage, Nürnberg : Bauer und Raspe, 1847.
[Staudt 1856, 1857, 1860] – Beiträge zur Geometrie der Lage, Nürnberg : Fr. Korn, 1856, 1857, 1860.
[Stolz 1885] – Vorlesungen über Allgemeine Arithmetik, Leipzig : Teubner, 1885. | JFM
[Thomae 1873] – Ebene geometrische Gebilde erster und zweiter Ordnung vom Standpunkte der Geometrie der Lage, Halle : Louis Nebert, 1873.
[Toepell 1985] – Zur Schlüsselrolle Friedrich Schurs bei der Entstehung von David Hilberts « Grundlagen der Geometrie », dans Folkerts (Menso) & Lindgren (Uta), éd., Mathemata, Festschrift für Helmut Gericke, Stuttgart : Steiner Verlag, 1985, p. 637–649. | MR | Zbl
[Toepell 1986] – Über die Entstehung von David Hilberts « Grundlagen der Geometrie », Vandenhoeck & Ruprecht, 1986. | MR | Zbl
[Veronese 1891] – Fondamenti di geometria a più dimensioni ed a più spezie di unità rettilinee esposti in forma elementare, Padova : Tipografia del Seminario, 1891 ; traduction allemande de A. Schlepp, Teubner, Leipzig, 1894. | JFM
[Veronese 1897] – Elementi di geometria ad uso dei licei e degli istituti tecnici, Verona, Padova : Fratelli Drucker, 1897. | JFM
[Voelke 2008] – Le théorème fondamental de la géométrie projective, évolution de sa preuve entre 1847 et 1900, Archive for History of Exact Sciences, 62 (2008), p. 243–296. | MR | Zbl
[Volkert 1999] – Die Lehre vom Flächeninhalt ebener Polygone : einige Schritte in der Mathematisierung eines anschaulichen Konzeptes, Mathematische Semesterberichte, 46 (1999), p. 1–28. | MR | Zbl
[Wiener 1890a] – Die Zusammensetzung zweier endlichen Schraubungen zu einer einzigen, Berichte der math.-phys. Classe der Königl. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, 42 (1890), p. 13–23. | JFM
[Wiener 1890b] – Zur Theorie der Umwendungen, Berichte der math.-phys. Classe der Königl. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, 42 (1890), p. 71–87. | JFM
[Wiener 1892] – Über Grundlagen und Aufbau der Geometrie, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1 (1892), p. 45–48. | EuDML | JFM
[Wiener 1894] – Weiteres über Grundlagen und Aufbau der Geometrie, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 3 (1894), p. 70–80. | EuDML | JFM
